Re: [obm-l] Ideais maximais 2

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Olá, Eric

Eric Campos (mathfire2001@yahoo.com.br) escreveu:
>> >QUESTAO:
>> >Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
>> >definidas em [0,1] com as operacoes
>> >soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
>> >produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
>> >Prove que se M eh ideal maximal de A entao
>> >para algum a em [0,1]
>> >M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
>> >
>> >SOLUCAO:
>> >1. A=C[0,1]
>> >2. M eh ideal maximal de A
>> >3. I eh ideal maximal de A
>> >   (provado recentemente na lista)
>
>A/I eh corpo
>(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
>teorema abaixo)
>
>TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
>ideal maximal, entao A/I eh corpo.
>dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.
>
>ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
>ou (b) M C I

Na minha opinião, existe um problema de redação aqui, que mais tarde acaba
deixando pouco claro qual o seu raciocínio. Acho que o correto seria
escrever
(a) Para todo a em [0,1], M não está contido em I_a
(b) Existe a em [0,1] tal que M está contido em I_a

e tentar mostrar que a opção (a) é absurda. Só que neste caso, o "tome f em
M-I" fica um pouco obscuro, pq temos infinitos I possíveis. E argumentar com
algo do tipo "fixado I" não me parece muito promissor, mas pode ser que eu
esteja totalmente enganado.

>Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.
>
>Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
>eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
>logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
>eh, fg=1_A

Na outra mensagem eu já havia comentado: vc só pode tomar uma f em M que não
tenha raízes (do contrário ela não pode ter inversa!). Mas então 1 = f*f^(-
1) está em M, logo M = A, absurdo.

>0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
>1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
>2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
>3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
>4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
>5a. I C M (de 4a.)
>6a. M+I=M (de 5a.)
>7a. I C M+I C A
>8a. M+I=I ou M+I=A
>
>Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
>diferente), logo
>
>9a. M+I=A
>10a. M = A (de 6a. e 9a.)
>11a. M # A (pois M e maximal)
>12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
>13a. M C I (de (a) e 12a.)
>
>Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
>a em [0,1].

Mesmo que estivesse tudo certo, vc não teria provado que M está contido em
I_a para algum a, mas sim para todo a... Veja a observação que eu fiz logo
no início da resposta.

>> >1. M C I
>> >2. M C I C A (de 1.)
>> >3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
>> >4. I # A (pois I eh maximal)
>> >   (# significa diferente)
>> >5. I = M (de 3. e 4.)
>
>Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
>[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}

Eu acho que vc deveria se concentrar mais no que o fato de não haver um zero
de M (isto é, um a tal que M C I_a para algum a em [0,1], e por conseguinte
M = I_a visto que M é maximal) implica...

Vc poderia por exemplo tentar mostrar que qualquer ideal próprio M está
contido em algum I_a para algum a. Com efeito, é fácil ver que nenhum ideal
próprio pode ter funções sem zeros (do contrário, pela multiplicação pelo
seu inverso, 1 estaria no ideal e logo o ideal seria igual a A).

Aí temos duas possibilidades:
1) existem a_1, a_2, ..., a_n (n finito) tais que toda f em M se anula em
algum dos a_i
2) existem infinitos a_i com essa propriedade, isto é, se vc tomar um
conjunto finito de a_i então existe f em M tal que f não se anula em nenhum
dos a_i

Se (1) ocorre então M C I_(a_1, a_2, ..., a_n) = { f em A tal que f(a_i) = 0
para algum i }. Então mostre que isso implica que n = 1 e portanto M = I_
(a_1).

Depois mostre porque (2) não ocorre...

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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