Re: [obm-l] Ideais maximais 2

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

Olah kleinad, revisei o problema com suas observacoes
e acho que consegui uma solucao bem mais sucinta...

> >QUESTAO:
> >Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
> >definidas em [0,1] com as operacoes
> >soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
> >produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
> >Prove que se M eh ideal maximal de A entao
> >para algum a em [0,1]
> >M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
> >
> >SOLUCAO:
> >1. A=C[0,1]
> >2. M eh ideal maximal de A
> >3. I eh ideal maximal de A
> >   (provado recentemente na lista)
> 
> Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e
> tomando I como o ideal das
> funções que se anulam em a, correto?

Sim, e dizendo que M=I=I_a={f em A:f(a)=0} eh ideal
maximal.

A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
teorema abaixo)

TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
ideal maximal, entao A/I eh corpo.
dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.

ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
ou (b) M C I

Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.

Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
eh, fg=1_A

0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
5a. I C M (de 4a.)
6a. M+I=M (de 5a.)
7a. I C M+I C A
8a. M+I=I ou M+I=A

Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
diferente), logo
 
9a. M+I=A
10a. M = A (de 6a. e 9a.)
11a. M # A (pois M e maximal)
12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
13a. M C I (de (a) e 12a.)

Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
a em [0,1].

> >1. M C I
> >2. M C I C A (de 1.)
> >3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
> >4. I # A (pois I eh maximal)
> >   (# significa diferente)
> >5. I = M (de 3. e 4.)

Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}

[]'s

Eric.




	
	
		
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