Re: [obm-l] Ideais maximais 2

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Eric Campos (mathfire2001@yahoo.com.br) escreveu:
>
>Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
>solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
>Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
>recentemente na lista sobre ideais maximais.

Veja a prova do Claudio

>QUESTAO:
>Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
>definidas em [0,1] com as operacoes
>soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
>produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
>Prove que se M eh ideal maximal de A entao
>existe a em [0,1] tal que
>M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
>
>SOLUCAO:
>1. A=C[0,1]
>2. M eh ideal maximal de A
>3. I eh ideal maximal de A
>   (provado recentemente na lista)

Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e tomando I como o ideal das
funções que se anulam em a, correto? Isso já é uma particularização e
tanto...

>4. M+I eh ideal de A
>5. I C M+I C A
>   (C significa esta contido)
>6. M C M+I C A
>7. ou (a) M+I=I
>   ou (b) M+I=M
>   ou (c) M+I=A
>
>(a) M+I=I
>1a. M C I C A (de 6. e (a))
>2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
>3a. I  A (pois I eh maximal)
>     ( significa diferente)
>4a. I = M (de 2a. e 3a.)
>OK

O que acontece nesta parte é que, da escolha arbitrária de a em [0,1]
para "gerar" I, vale M + I = I se e só vc deu a tremenda sorte de escolher
justamente o a em [0,1] tal que M é o ideal das funções que se anulam em a.

>(b) M+I=M
>1b. I C M C A (de 5. e (b))
>2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
>3b. M  A (pois M eh maximal)
>4b. M = I (de 2b. e 3b.)
>OK
>
>(c) M+I=A
>1c. A/I eh corpo
>  (pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
>2c. ou (ca) M C I
>    ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
>
>(ca) M C I
>1ca. M C I C A (de ca.)
>2ca. I = M ou I = A
>     (pois M eh maximal)
>3ca. I <> A (pois I eh maximal)
>(<> significa diferente)
>4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
>OK
>
>(cb) M C/ I
>1cb. Tome f em M-I
>2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
>     (pois A/I eh corpo e de 1cb.)

Essa parte foi muito rápida... O fato é que existe g em A-I tal que (f + I)*
(g + I) = (1 + I), ou seja, fg - 1 está em I. Porque necessariamente é fg -
1 = 0? Aliás, como é verdade que M é o ideal das funções que se anulam para
algum b em [0,1], então nenhuma função em M pode ter inversa pela própria
definição de (fg)(x) = f(x)*g(x).

>3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
>4cb. fg estah em M (de 3cb.)
>5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
>6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
>7cb. I C M (de 6cb.)
>8cb. M+I=M (de 7cb.)
>9cb. M+I=A (de (c))
>10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
>11cb. M  A (pois M e maximal)
>12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
>13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
>14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)
>
>Uff...
>
>[]'s
>
>Eric.
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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