Re: [obm-l] Serie condicionalmente convergente

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Falei besteira na minha msg anterior.

As bijecoes que sao produtos de ciclos finitos mantem a serie convergente e,
mais ainda, com a mesma soma, mas nao sao as unicas bijecoes que mantem a
convergencia, como o seu exemplo abaixo mostra.

No caso, a bijecao eh:
1 -> 1
2 -> 3
3 -> 2

4 -> 5
5 -> 7
6 -> 4

7 -> 9
8 -> 11
9 -> 6

10 -> 13
11 -> 15
12 -> 8

Ou seja, para cada n em N teremos:
f(3n-2) = 4n-3
f(3n-1) = 4n-1
f(3n) = 2n

***

Se S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n for a n-esima reduzida de uma serie
condicionalmente convergente, a reordenacao a ser buscada eh tal que a nova
reduzida passa ser:
R_n = S_n + T_n, onde T_n eh uma sequencia convergente

No seu exemplo:
R_2 = S_2 + (1/3)
R_4 = S_4 + (1/5 + 1/7)
R_6 = S_6 + (1/7 + 1/9 + 1/11)
R_8 = S_8 + (1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15)
...

Ou seja, T_n = 1/(n+1) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n-1) < log(2), de modo que T_n
converge.

***

Vou ter que pensar mais um pouco no caso geral.

[]s,
Claudio.

on 18.03.05 09:21, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> Ola Claudio e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
> 
> Voce ja o resolveu, apenas ainda nao percebeu isso ...  quando ha pouco voce
> exibiu A FUNCAO que so admite como conjuntos estaveis o VAZIO e o proprio X
> : basta generalizar esta funcao e aplica-la ao caso infinito, vale dizer, as
> re-ordenacoes dos indices da serie.
> 
> A titulo de exemplificacao, considere o caso particular da serie
> condicionalmente convergente 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... e a FUNCAO ( que voce
> ja percebeu ) que a reordena com o seguinte aspecto 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 +
> 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... . Claramente que as somas parciais podem
> ser colocadas assim :
> 
> 1 - 1/2 + (1/3)
> 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + (1/5 + 1/7)
> 
> A parte fora do parenteses e a soma antiga e a que esta dentro do parenteses
> e claramente convergente. Eu afirmo ( e neste caso particular e facil ver
> isso ) que em toda generalizacao da funcao a reordenacao resultante sera
> convergente. No caso geral, toma este caso particular como um limitante.
> 
> Se nao me falha a memoria, eu dei uma sugestao que explica o restante.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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