Re: [obm-l] Indução

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcio:

Da pra provar ainda mais: que (1 + 1/n)^n < 3 para todo n.

Uma ideia legal eh expandir (1 + 1/n)^n usando o binomio de Newton, dar uma
arrumada na expressao resultante e deduzir que ela eh limitada superiormente
por: 
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!,
a qual por sua vez eh limitada superiormente por:
1 + 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) =
1 + 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n-1) - 1/n) =
1 + 1 + (1 - 1/n) < 3.

Dai usando a desigualdade MG < MA com os n+1 numeros:
1 + 1/n, 1 + 1/n, ..., 1 + 1/n, 1
(ou seja n numeros iguais a 1 + 1/n e 1 numero igual a 1)
voce obtem:
(1 + 1/n)^(n/(n+1)) < 1 + 1/(n+1) ==>
(1 + 1/n)^n < (1 + 1/(n+1))^(n+1) ==>
((1 + 1/n)^n) eh crescente.

Logo, ((1 + 1/n)^n) eh monotona crescente e limitada superiormente por 3.
Assim, existe lim(n -> infinito) (1 + 1/n)^n.


[]s,
Claudio.

on 17.03.05 22:22, Marcio M Rocha at ddcristo@bol.com.br wrote:

> Boa noite, pessoal.
> A questão abaixo também consta do Vol. 1 de "A Matemática do Ensino Médio".
> Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém
> verificasse se está tudo OK.
> 
> Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n <=n para todo n>=3.
> 
> Para n = 3 temos (4/3)³ <=3
> 
> Solução
> Supondo verdadeira para algum k>3:
> 
> ((k + 1)/k) elevado a k <=k
> 
> Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho
> 
> ((k + 1)/k)elevado a (k + 1) <= k + 1
> 
> Só que quando k > 3, (k + 2)/(k + 1) <= (k + 1)/k, e daí:
> 
> ((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1) < = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1)
> 
> Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) <= k + 1
> 
> Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência
> 
> 1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ...
> 
> é decrescente a partir do 3o termo.
> 
> Esta parte ainda está saindo.
> 
> Desculpem se são questões triviais para vocês.
> 
> Abraços.
> 
> Márcio.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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