Re: [obm-l] Infimo e Integrais

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Esta questao ( que eu propus ) esta no livro "Curso de Analise", Vol 1, Prof 
Elon L Lima, Projeto Euclides. Este livro e muito bom. E o melhor dentre os 
livros de introducao a Analise que eu conheco. Eu estimulo voces a estudarem 
por ele e a fazerem todos os exercicios interessantes que la existem. Ele e 
um "livro de formacao", nao e um livro de problemas olimpicos.

Todo livro e apenas a compilacao de uma fracao do conhecimento. Para ter 
maior liberdade e se exercitar na pesquisa nos sempre podemos ampliar o que 
existe nele. O conjunto de Cantor e um exemplo ...

A fixacao no segmento [0,1], a reiterada divisao em 3 partes e a eterna 
eleicao do segmente central para ser destacado e, em determinado sentido, 
frustrante... Considere o seguinte :

Seja [a,b] um intervalo fechado, D=(d1,d2,...,dn,...) uma sequencia de 
inteiros positivos maiores que 1 e E=(E1, E2,...,En,...) uma sequencia de 
"funcoes de escolha" assim definidas :

En : {1,...,dn} -> {0,1}
En(n)=0, se o n-esimo segmento aberto sera destacado
En(n)=1, se o n-esimo segmento fechado sera mantido.

O processo de construcao deste "CONJUNTO DE CANTOR GENERALIZADO" e assim :

1) Tomamos o segmento [a,b] e o dividimos em "d1" partes iguais.
2) Enumeramos estas partes, da esquerda para a direita, a partir de 1. A 
parte mais a esquerda sera a parte 1, a mais a direita, a parte "d1".
3) Usando a funcao de escolha E1, retiramos as partes abertas numeradas n 
tais que E1(n)=0
4) Sobrarao algumas partes fechadas. Substituimos "d1" por "d2" e E1 por E2 
para cada parte restante rpetimos as operacoes acima, a partir do passo 1. E 
assim sucessivamente ...

Exemplo 1

[a,b]=[0,1]
D=(3,3,3,3,...)

En:{1,2,3}->{0,1}
En(1)=1, En(2)=0 e En(3)=1
Para todo n

E o classico conjunto de Cantor. Note que a "monotonia"( chatice ?) do 
conjunto de cantor se reflete na constancia das sequencias D e E ( elas sao 
constantes ! ). Isso e notavel, pois se dando liberdade a nossa IMAGINACAO 
conseguimos fazer refletir matematicamente ( a constancia das serie D e E ) 
o que sentimos, esta confluencia e bela e sinaliza que enveredamos por um 
bom caminho. Sera ?

O Conjunto de Cantor Generalizado e o Teorema de Riemann

Considere o conjunto de cantor tradicional. Apos a primeira iteracao, 1/3 
estara nele ( em verdade, estara nele para sempre ) e sera um "ponto extremo 
a direita". Segue que apos a segunda iteracao, 1/3  -  1/9 tambem estara ( 
para sempre ) e sera um "ponto extremo a esquerda". Apos a terceira 
iteracao, 1/3  -  1/9  + 1/27 sera um "ponto extremo a direita" e assim 
sucessivamente ... Isto significa que, para todo n,

1/3 -1/9 + 1/27 - ... estara no cantor tradicional. Como ele e fechado :

1/4=lim (1/3 - 1/9 + 1/27 - 1/81 + ...)  pertence ao Cantor tradicional. 
Essa e uma forma elementar de mostrar que 1/4 esta no conjunto de Cantor. 
Bom, a serie 1/3  -  1/9  +  1/27  -  1/81 + ... nao e condicionalmente 
convergente em virtude da monotonia do Cantor tradicional, que tem um efeito 
multiplicativo constante, afetando os extremos dos intervalos fechados que 
permanecem.

Com o Cantor Generalizado, nos nao temos este problema ...

Seja A1+A2+... uma serie condicionalmente convergente. Mostre que existe um 
Conjunto de Cantor Generalizado ( uma serie D e uma serie E ) tal que uma 
subsequencia dos  extremos dos intervalos fechados nao retirados converge 
para LIM A1+A2 +...

Claramente que voce pode generalizar este resultado para uma reordenacao dos 
indices que seja convergente, pois a serie assim obtida continuara 
condicionalmente convergente. Agora, haveria alguma relacao entre as series 
D e E nestes casos ?


Ainda se mantendo no livro que citei, vou apenas indicar uma outra forma de 
voce ir alem dele e encontrar coisas interessantes para se ocupar.

Todo corpo ordenado completo guarda em si uma copia dos naturais. Segue que 
e construtivel uma aritmetica ali e, portanto, pelo teorema de Godel, havera 
afirmacoes verificaveis que nao sao dedutiveis com os axiomas admitidos. 
Claramente que os axiomas tal como sao apresentados nao tem uma formalizacao 
plena e as regras de inferencia nao estao explicitamente enunciadas.

Nao obstante isso, e certo que aquele corpo de conhecimentos nao pode ( 
Gracas a Deus ! ) abrigar a pretensao de exaurir todas as propriedades dos 
numeros pois, dado que temos fundadas razoes para supor que ele e 
consistente, suspeitamos fortemente que ele e incompleto ...

Qual seria a "cara" ou o "jeitao" de uma afirmacao assim ? Ela e estranha ? 
Ela seria um argumento, digamos, combinatorio ? E portanto interessantissimo 
encontrar e demonstrar ao menos uma tal afirmacao sobre os naturais ( que 
nao pode ser dedutivel dos axiomas de um corpo ordenado completo ). Fazendo 
isso, voce teria ido "alem do livro" e se deparado com paragens, como diria 
Descartes, "capaz de fazer calar o maior dos palradores". Eis aqui um outro 
projeto de pesquisa que eu incentivo voces a fazerem.

Notem que o fato de uma afirmacao sobre um conjunto de objetos parecer 
estranha e anti-natural nao significa que ela nao tenha sentido ou 
utilidade, pois "sentido" e "utilidade" sao palavras que dependem do 
contexto ... Eu apreciaria muito ler um argumento verossimil que 
justificasse uma tal estranheza ...

Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
5,2107,170305

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Infimo e Integrais Date: Thu, 17 Mar 2005 18:12:14 -0300
> >
> > Seja f:R->R uma funcao e S um conjunto qualquer, nao vazio. Para cada x 
>em R
> > definimos
> > f(x)=INFIMO{|s-x|, s variando em S}. Prove que f:R->R e continua
> >
>Um bom problema eh calcular INTEGRAL(0..1) f(x)dx quando S eh o conjunto de
>Cantor. A integral existe pois f eh continua e, portanto, integravel.
>
>Ou entao, INTEGRAL(0..+infinito) f(x)dx quando S = {0} uniao {a_n | n em N}
>onde a_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n = n-esima reduzida da serie harmonica.
>Se eu nao errei nas contas, essa eh mais uma aparicao inesperada de Pi,
>dessa vez num contexto onde talvez o numero "e" fosse mais provavel, dado
>que a serie harmonica eh intimamente relacionada ao logaritmo natural.
>
>Um lema util eh o seguinte:
>Se a e b (a < b) pertencem a S mas S inter (a,b) = vazio, entao:
>Integral(a..b) f(x)dx = (b - a)^2/4.
>
>[]s,
>Claudio.

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