Imagino que você se refira ao teorema fundamental da álgebra.
O que vou escrever não é uma demonstração formal, mas apenas uma linha de argumentação que eu acho bem convincente e que, naturalmente, pode ser tornada 100% rigorosa.
Tome o polinômio p(z) = z^n + a_(n-1)*z^(n-1) + ... + a_1*z + a_0.
p(z) tem grau n, coeficientes complexos e s.p.d.g. pode ser suposto mônico.
Obviamente, se a_0 = 0, teremos p(0) = 0.
Assim, podemos supor que a_0 <> 0.
Qual a imagem do círculo |z| = R sob p(z)?
Ou seja, para complexos da forma z = R*e^(i*t), o que acontece com p(z) quando t varia de 0 a 2*Pi enquanto R permanece fixo?
A primeira consideração é que, como R*e^(i*0) = R*e^(i*2*Pi), a imagem de |z| = R será sempre uma curva fechada, para todo R > 0 (para R = 0, a imagem será o ponto a_0).
Para R muito grande, p(z) ~ z^n, de modo que a imagem do círculo |z| = R será próxima do círculo |z| = R^n (percorrido n vezes no sentido anti-horário). Em particular, a imagem será próxima de um círculo centrado em z = 0 e, portanto, será uma curva fechada que conterá o ponto z = 0 no seu interior.
Por outro lado, para R muito pequeno, p(z) ~ a_0, de modo que a imagem do círculo |z| = R será uma curva fechada que estará inteiramente contida num disco centrado em a_0 e que não contém o ponto z = 0, já que estamos supondo a_0 <> 0.
Fazendo R variar continuamente do valor muito pequeno para o valor muito grande, a imagem do círculo |z| = R irá passar de uma curva que não contém z = 0 em seu interior a uma curva que contém z = 0 em seu interior. Como a variação foi contínua, vai haver um valor de R tal que a imagem do círculo |z| = R por p(z) vai passar pelo ponto z = 0, ou seja, este círculo conterá um ponto z_0 tal que p(z_0) = 0.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 16 Feb 2005 20:17:35 -0300 (ART) |
| Assunto: |
[obm-l] Teorema de Gauss |
> Olá pessoal, alguém poderia me dar uma dica de como eu
> posso fazer a demonstração para alunos do ensino médio
> do teorema de gauss que trata sobre a existência das
> raízes complexas para equações algébricas? Grato!
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