[obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:

 

1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).

 

a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)

 

 

b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo a em M_n(K).

 

 

2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)    

 

garto desde já, éder.

 

 

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