Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

on 13.01.05 18:33, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
>
> 1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).
>
> a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)
>
> *** Isso eh consequencia do fato de termos tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A e B em M_n(K), de modo que:
> B = PAP^(-1) ==> tr(B) = tr(PAP^(-1)) = tr(P^(-1)PA) = tr(IA) = tr(A).
>
>
> b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo A em M_n(K).
>
> *** Ponhamos g(M) = SOMA(1<=i, j<=n) c_ij*m_ij.
>
> Seja B a matriz cujo unico elemento nao nulo eh b_rs = 1.
> Entao: 
> AB = matriz cuja unica coluna nao nula eh a s-esima = (a_1r,a_2r,...,a_nr)^t.
> e
> BA = matriz cuja unica linha nao nula eh a r-esima = (a_s1,a_s2,...,a_sn)
>
> g(AB) = g(BA) ==>
> c_1r*a_1r + c_2r*a_2r + ... + c_nr*a_nr = c_s1*a_s1 + c_s2*a_s2 + ... + c_sn*a_sn.
>
> A fim de determinar os valores dos c_ij, precisamos escolher matrizes A apropriadas:
>
> Inicialmente, escolhemos matrizes A com um unico elemento nao nulo a_uv.
> Fazendo variar u, v, r e s, deduzimos que c_ij = 0 se i <> j.
>
> Em seguida, tomamos A = I ==> 
> c_rr = c_ss, quaisquer que sejam r e s ==> 
> c_11 = c_22 = ... = c_nn = b = constante de K
>
> Logo, g(M) = b*(m_11 + ... + m_nn) = b*tr(M).
>
>
> []s,
> Claudio.