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Re: [obm-l] Problemas em aberto - prob 10
Acho q vc tem razão... não me ocorre como consertar,
exceto colocando uma restrição adicional. Acho que só
vale para A-B e c, primos entre si.
[]´s
--- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
<gugu@impa.br> escreveu:
> Caro Demetrio,
> No fim da sua explicacao, A-B nao pode ser uma
> potencia de y ? Nesse
> caso, todos os fatores primos de A-B sao fatores
> primos de y.A^(y-1), e eu
> nao entendi como voce conclui.
> Abracos,
> Gugu
>
> >
> > --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> >escreveu:
> >
> >> *****
> >>
> >> 10) Seja P = A^c - B^c,
> >> onde:
> >> A, B e c são inteiros e primos entre si,
> >> A - B > 1,
> >> c = n1*n2*...*ni*...nk ,
> >> (os ni são fatores primos distintos, ou seja, c
> tem
> >> k fatores
> >> primos distintos).
> >>
> >> Mostre que P é um número composto com, no mínimo,
> >> k+1
> >> fatores primos distintos.
> >>
> >> *****
> >
> >Deixe eu colocar uma restrição adicional c = impar.
> >
> >
> >Em primeiro lugar é fácil ver que todos os números
> >da forma A^ni - B^ni dividem P.
> >
> >Portanto, um caminho seria mostrar que, dados
> >quaisquer números da forma S1 = A^x - B^x e
> >S2 = A^y - B^y, x e y primos entre si, S1 e S2 não
> >podem ser múltiplos, isto é, possuem algum fator
> >primo distinto entre si.
> >
> >
> >
> >****1**
> >suponha A, B e x,y primos entre si. x e y primos
> >diferentes de 2 e x > y.
> >
> >Hipótese: se A^x - B^x tem fatores primos em
> >comum com A^y - B^y, estes fatores estão em A - B.
> >
> >
> >Suponha que S1 = A^x - B^x contém um fator em
> >comum com S2 = A^y - B^y.
> >Seja
> >F1 = A^(x-y) * S2 = A^(x-y) * (A^y - B^y) =
> >A^x - [A^(x-y)*(B^y)].
> >
> >Naturalmente F1 contém o mesmo fator em comum
> >com S1 e S2, e portanto F1 - S1 o conterá também.
> >
> >F1 - S1 = B^x - [A^(x-y)*(B^y)] =
> >B^y * [B^(x-y) - A^(x-y)].
> >
> >Dado que A e B são primos entre si, o fator comum
> >não pode estar em B^y, e portanto está em
> >B^(x-y) - A^(x-y).
> >
> >Agora pode-se repetir o raciocínio para
> >B^(x-y) - A^(x-y) e A^y - B^y,
> >verificando qual dos dois expoentes é maior.
> >Suponhamos que x-y > y. Neste caso podemos provar
> >que o fator comum também está em B^(x-2y) -
> A^(x-2y).
> >Observe que, caso y > x-y provaríamos para o
> >expoente 2y - x.
> >
> >Repetindo o raciocínio interativamente vamos chegar
>
> >até o expoente 1. Note que, como x e y são primos,
>
> >a sequencia de expoentes decrescentes não
> coincidirá
> >com y.
> >
> >Por exemplo x = 19, y = 3.
> >19 -> 16 -> 13 -> 10 -> 7 -> 4 ->1
> >
> >Por exemplo x = 17, y = 3.
> >17 -> 14 -> 11 -> 8 -> 5 -> 2 ->1
> >
> >Por exemplo x = 19 y = 11.
> >19 -> 8 -> 3 (11 - 8) -> 5 (8 - 3) -> 2 (5 - 3) ->
> 1
> >(3 - 2)
> >
> >
> >****2**
> >S2 = A^y - B^y também possui ao menos um fator
> primo
> >distinto da decomposição em fatores primos de A -
> B.
> >
> >Note-se que
> >S2 = (A - B) * F3, onde
> >F3 = A^y-1 + (A^(y-2))*B + ... + B^y-1
> >
> >Portanto, se a hipótese estiver correta e S2
> >contiver ao menos um fator primo distinto de A - B,
>
> >este fator estará em F3
> >
> >Note-se que F3 tem exatamente y termos.
> >Se a Hipótese estiver incorreta, isto é, se A - B
> >contiver todos os fatores primos de F3, então
> qualquer
> >
> >combinação linear do tipo k1*(A - B) + k2*F3
> também
> >conterá todos estes fatores.
> >
> >Esta idéia pode ser usada para reduzir-se os termos
>
> >de F3 até um único termo que obrigatoriamente teria
>
> >de conter todos os fatores primos.
> >
> >Por exemplo vamos considerar y = 3.
> >Neste caso F3 = A^2 +A*B +B^2
> >
> >F3 + A(A - B) = A^2 + A*B - A*B + B^2 = 2*A^2 + B^2
> >2*A^2 + B^2 + (A + B)*(A - B) =
> >2*A^2 + B^2 + A^2 - B^2 = 3*A^2
> >
> >y = 5, F3=A^4 +A^3*B +A^2*B^2 +A*B^3 +B^4
> >F3 + A^3*(A - B) + A*B^2*(A - B) =
> >2*A^4 +2*A^2*B^2 +B^4 = X1
> >
> >X1 + 2*A^2*(A + B)*(A - B) = X1 + 2*A^4 -
> 2*A^2*B^2=
> > 4*A^4 + B^4
> >
> >4*A^4 + B^4 + A^4 - B^4 = 5*A^4
> >
> >Na verdade, caso (A - B) tenha todos os fatores
> primos
> >de F3, é possível transformar F3 em outras
> expressões
> >que devem conter os mesmos fatores primos, através
> de
> >"operações elementares", até uma expressão na forma
>
> >y*A^y-1 (ou y*B^y-1). Mas vamos recordar que A,B e
> y
> >são primos entre si, portanto não é possível
> >que y*A^y-1 contenha os mesmos fatores primos de A
> -
> >B.
> >
> >
> >Em resumo, temos que
> >**1** - Se S1 e S2 possuem fatores primos em comum,
>
> >estes fatores estão em A - B.
> >
> >**2** - S1 e S2 possuem ao menos um fator primo não
>
> >contido em A - B
> >
> >Logo S1 e S2 possuem ao menos um fator distinto
> entre
> >si.
> >
> >A extensão para c par é direta fazendo A^2 - B^2
> >= D - C
> >
> >[]´s
> >
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