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Re: [obm-l] Problemas em aberto - prob 10
Caro Demetrio,
No fim da sua explicacao, A-B nao pode ser uma potencia de y ? Nesse
caso, todos os fatores primos de A-B sao fatores primos de y.A^(y-1), e eu
nao entendi como voce conclui.
Abracos,
Gugu
>
> --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>escreveu:
>
>> *****
>>
>> 10) Seja P = A^c - B^c,
>> onde:
>> A, B e c são inteiros e primos entre si,
>> A - B > 1,
>> c = n1*n2*...*ni*...nk ,
>> (os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem
>> k fatores
>> primos distintos).
>>
>> Mostre que P é um número composto com, no mínimo,
>> k+1
>> fatores primos distintos.
>>
>> *****
>
>Deixe eu colocar uma restrição adicional c = impar.
>
>
>Em primeiro lugar é fácil ver que todos os números
>da forma A^ni - B^ni dividem P.
>
>Portanto, um caminho seria mostrar que, dados
>quaisquer números da forma S1 = A^x - B^x e
>S2 = A^y - B^y, x e y primos entre si, S1 e S2 não
>podem ser múltiplos, isto é, possuem algum fator
>primo distinto entre si.
>
>
>
>****1**
>suponha A, B e x,y primos entre si. x e y primos
>diferentes de 2 e x > y.
>
>Hipótese: se A^x - B^x tem fatores primos em
>comum com A^y - B^y, estes fatores estão em A - B.
>
>
>Suponha que S1 = A^x - B^x contém um fator em
>comum com S2 = A^y - B^y.
>Seja
>F1 = A^(x-y) * S2 = A^(x-y) * (A^y - B^y) =
>A^x - [A^(x-y)*(B^y)].
>
>Naturalmente F1 contém o mesmo fator em comum
>com S1 e S2, e portanto F1 - S1 o conterá também.
>
>F1 - S1 = B^x - [A^(x-y)*(B^y)] =
>B^y * [B^(x-y) - A^(x-y)].
>
>Dado que A e B são primos entre si, o fator comum
>não pode estar em B^y, e portanto está em
>B^(x-y) - A^(x-y).
>
>Agora pode-se repetir o raciocínio para
>B^(x-y) - A^(x-y) e A^y - B^y,
>verificando qual dos dois expoentes é maior.
>Suponhamos que x-y > y. Neste caso podemos provar
>que o fator comum também está em B^(x-2y) - A^(x-2y).
>Observe que, caso y > x-y provaríamos para o
>expoente 2y - x.
>
>Repetindo o raciocínio interativamente vamos chegar
>até o expoente 1. Note que, como x e y são primos,
>a sequencia de expoentes decrescentes não coincidirá
>com y.
>
>Por exemplo x = 19, y = 3.
>19 -> 16 -> 13 -> 10 -> 7 -> 4 ->1
>
>Por exemplo x = 17, y = 3.
>17 -> 14 -> 11 -> 8 -> 5 -> 2 ->1
>
>Por exemplo x = 19 y = 11.
>19 -> 8 -> 3 (11 - 8) -> 5 (8 - 3) -> 2 (5 - 3) -> 1
>(3 - 2)
>
>
>****2**
>S2 = A^y - B^y também possui ao menos um fator primo
>distinto da decomposição em fatores primos de A - B.
>
>Note-se que
>S2 = (A - B) * F3, onde
>F3 = A^y-1 + (A^(y-2))*B + ... + B^y-1
>
>Portanto, se a hipótese estiver correta e S2
>contiver ao menos um fator primo distinto de A - B,
>este fator estará em F3
>
>Note-se que F3 tem exatamente y termos.
>Se a Hipótese estiver incorreta, isto é, se A - B
>contiver todos os fatores primos de F3, então qualquer
>
>combinação linear do tipo k1*(A - B) + k2*F3 também
>conterá todos estes fatores.
>
>Esta idéia pode ser usada para reduzir-se os termos
>de F3 até um único termo que obrigatoriamente teria
>de conter todos os fatores primos.
>
>Por exemplo vamos considerar y = 3.
>Neste caso F3 = A^2 +A*B +B^2
>
>F3 + A(A - B) = A^2 + A*B - A*B + B^2 = 2*A^2 + B^2
>2*A^2 + B^2 + (A + B)*(A - B) =
>2*A^2 + B^2 + A^2 - B^2 = 3*A^2
>
>y = 5, F3=A^4 +A^3*B +A^2*B^2 +A*B^3 +B^4
>F3 + A^3*(A - B) + A*B^2*(A - B) =
>2*A^4 +2*A^2*B^2 +B^4 = X1
>
>X1 + 2*A^2*(A + B)*(A - B) = X1 + 2*A^4 - 2*A^2*B^2=
> 4*A^4 + B^4
>
>4*A^4 + B^4 + A^4 - B^4 = 5*A^4
>
>Na verdade, caso (A - B) tenha todos os fatores primos
>de F3, é possível transformar F3 em outras expressões
>que devem conter os mesmos fatores primos, através de
>"operações elementares", até uma expressão na forma
>y*A^y-1 (ou y*B^y-1). Mas vamos recordar que A,B e y
>são primos entre si, portanto não é possível
>que y*A^y-1 contenha os mesmos fatores primos de A -
>B.
>
>
>Em resumo, temos que
>**1** - Se S1 e S2 possuem fatores primos em comum,
>estes fatores estão em A - B.
>
>**2** - S1 e S2 possuem ao menos um fator primo não
>contido em A - B
>
>Logo S1 e S2 possuem ao menos um fator distinto entre
>si.
>
>A extensão para c par é direta fazendo A^2 - B^2
>= D - C
>
>[]´s
>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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