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Re: [obm-l] Problemas em aberto - prob 10
--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu:
> *****
>
> 10) Seja P = A^c - B^c,
> onde:
> A, B e c são inteiros e primos entre si,
> A - B > 1,
> c = n1*n2*...*ni*...nk ,
> (os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem
> k fatores
> primos distintos).
>
> Mostre que P é um número composto com, no mínimo,
> k+1
> fatores primos distintos.
>
> *****
Deixe eu colocar uma restrição adicional c = impar.
Em primeiro lugar é fácil ver que todos os números
da forma A^ni - B^ni dividem P.
Portanto, um caminho seria mostrar que, dados
quaisquer números da forma S1 = A^x - B^x e
S2 = A^y - B^y, x e y primos entre si, S1 e S2 não
podem ser múltiplos, isto é, possuem algum fator
primo distinto entre si.
****1**
suponha A, B e x,y primos entre si. x e y primos
diferentes de 2 e x > y.
Hipótese: se A^x - B^x tem fatores primos em
comum com A^y - B^y, estes fatores estão em A - B.
Suponha que S1 = A^x - B^x contém um fator em
comum com S2 = A^y - B^y.
Seja
F1 = A^(x-y) * S2 = A^(x-y) * (A^y - B^y) =
A^x - [A^(x-y)*(B^y)].
Naturalmente F1 contém o mesmo fator em comum
com S1 e S2, e portanto F1 - S1 o conterá também.
F1 - S1 = B^x - [A^(x-y)*(B^y)] =
B^y * [B^(x-y) - A^(x-y)].
Dado que A e B são primos entre si, o fator comum
não pode estar em B^y, e portanto está em
B^(x-y) - A^(x-y).
Agora pode-se repetir o raciocínio para
B^(x-y) - A^(x-y) e A^y - B^y,
verificando qual dos dois expoentes é maior.
Suponhamos que x-y > y. Neste caso podemos provar
que o fator comum também está em B^(x-2y) - A^(x-2y).
Observe que, caso y > x-y provaríamos para o
expoente 2y - x.
Repetindo o raciocínio interativamente vamos chegar
até o expoente 1. Note que, como x e y são primos,
a sequencia de expoentes decrescentes não coincidirá
com y.
Por exemplo x = 19, y = 3.
19 -> 16 -> 13 -> 10 -> 7 -> 4 ->1
Por exemplo x = 17, y = 3.
17 -> 14 -> 11 -> 8 -> 5 -> 2 ->1
Por exemplo x = 19 y = 11.
19 -> 8 -> 3 (11 - 8) -> 5 (8 - 3) -> 2 (5 - 3) -> 1
(3 - 2)
****2**
S2 = A^y - B^y também possui ao menos um fator primo
distinto da decomposição em fatores primos de A - B.
Note-se que
S2 = (A - B) * F3, onde
F3 = A^y-1 + (A^(y-2))*B + ... + B^y-1
Portanto, se a hipótese estiver correta e S2
contiver ao menos um fator primo distinto de A - B,
este fator estará em F3
Note-se que F3 tem exatamente y termos.
Se a Hipótese estiver incorreta, isto é, se A - B
contiver todos os fatores primos de F3, então qualquer
combinação linear do tipo k1*(A - B) + k2*F3 também
conterá todos estes fatores.
Esta idéia pode ser usada para reduzir-se os termos
de F3 até um único termo que obrigatoriamente teria
de conter todos os fatores primos.
Por exemplo vamos considerar y = 3.
Neste caso F3 = A^2 +A*B +B^2
F3 + A(A - B) = A^2 + A*B - A*B + B^2 = 2*A^2 + B^2
2*A^2 + B^2 + (A + B)*(A - B) =
2*A^2 + B^2 + A^2 - B^2 = 3*A^2
y = 5, F3=A^4 +A^3*B +A^2*B^2 +A*B^3 +B^4
F3 + A^3*(A - B) + A*B^2*(A - B) =
2*A^4 +2*A^2*B^2 +B^4 = X1
X1 + 2*A^2*(A + B)*(A - B) = X1 + 2*A^4 - 2*A^2*B^2=
4*A^4 + B^4
4*A^4 + B^4 + A^4 - B^4 = 5*A^4
Na verdade, caso (A - B) tenha todos os fatores primos
de F3, é possível transformar F3 em outras expressões
que devem conter os mesmos fatores primos, através de
"operações elementares", até uma expressão na forma
y*A^y-1 (ou y*B^y-1). Mas vamos recordar que A,B e y
são primos entre si, portanto não é possível
que y*A^y-1 contenha os mesmos fatores primos de A -
B.
Em resumo, temos que
**1** - Se S1 e S2 possuem fatores primos em comum,
estes fatores estão em A - B.
**2** - S1 e S2 possuem ao menos um fator primo não
contido em A - B
Logo S1 e S2 possuem ao menos um fator distinto entre
si.
A extensão para c par é direta fazendo A^2 - B^2
= D - C
[]´s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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