| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200 |
| Assunto: |
[obm-l] Conjunto denso em R |
> Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p<>0, o
> conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
> Artur
>
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido aqui na lista.
Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas que nao me parece tao absurdo assim.
Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) -> 0 quando n -> infinito
Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].
Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} -> 1 quando n -> infinito.
Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.
Um pouco de reflexao e esforco mental (no banheiro) me fez pensar na sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) -> a quando n -> infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n
Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao inteiros positivos e p <= q.
Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} -> p/q quando n -> infinito.
Ou seja, todo racional de [0,1] eh valor de aderencia de {raiz(n)}.
Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu interior, algum racional e que este racional eh limite de alguma subsequencia de {raiz(n)}. Logo, I conterah todos os termos desta subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh densa em [0,1].
***
Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original proposto pelo Artur.
[]s,
Claudio.