Re: [obm-l] Quadrilatero Circunscritivel

["Rogerio Ponce" <rogerio_ponce@xxxxxxxxxxx>]

Olá Luís,

É o mesmo problema, porém com o enunciado correto.
A diferença é que agora, o ponto(F) por onde passa a perpendicular está 
definido.
Conforme mostrei anteriormente, sem a amarração deste ponto o problema seria 
impossível de ser demonstrado, a não ser no caso particular em que o centro 
do círculo estivesse sobre a outra diagonal do quadrilátero.

Abraços,
Rogério.


--------------------------------------------------------------------------------

De: Luís Lopes

Sauda,c~oes,


O 1o. enunciado tirei de uma lista. Será o mesmo
problema que o Claudio propôs (2o. enunciado) ?


Uma solução segue mais abaixo.


[]'s
Luis


Circle with center in point H is inscribed into convex quadrilateral
ABCD, point H doesn't lie on line AC. Diagonals AC and BD intersect
at point F. Line passing through point F and perpendicular to line
BD, cuts lines AH and CH in points R and S respectively. Prove that
RF=FS.

Michel Swift


>>Let ABCD be a quadrilateral with an inscribed circle with center O (all
>>sides of the quadrilateral are tangent to the circle). Assume that O does
>>not lie on AC. Construct a line through E on BD perpendicular to BD.
>>Then this line meets OA at R and OC at S. Show that |ER|=|ES|.
>>

   One can view vertices of ABCD quadrilateral as foci and points of
   a rectangular hyperbola  ( B,D  - foci,   A,C - points on
   one branch,   because  AB+CD = BC+AD  or AB-AD = BC-CD = 2a )
   Then lines AH, CH are tangents to hyperbola at A and C.


   A line perpendicular to BD (main axis) at point F cuts tangents at
   symmetric points wrt BD.


   Cheers,


   K. Jeff.






From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Circunscritivel
Date: Sun, 12 Dec 2004 00:25:25 -0200


on 11.12.04 22:07, Rogerio Ponce at [EMAIL PROTECTED] wrote:

>Só pra tirar as dúvidas:
>
>Suponha que |ER| = |ES| .
>
>Agora trace uma paralela a RS original, determinando novos pontos E,R e S.
>
>Como o ponto O não pertence a BD, necessariamente os novos |ER| e |ES| 
>serão
>diferentes entre si.
>
Nao necessariamente. E se BD for a mediatriz de RS? Alias, isso eh
justamente o que o problema pede que se prove.


>Portanto, não basta que o ponto E pertença a BD.
>
>[]'s
>Rogério.
>
>
>
>------------------------------------------
>
>
>>Eu acho que é para qualquer E pertencente a BD... pelo menos no
>>desenho que eu fiz ficou assim. Mas ainda não demonstrei.
>
Essa tambem foi a minha interpretacao.


[]s,
Claudio.

>>Abraços
>>--
>>Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>------------------
>>From: "Rogerio Ponce"
>>
>>Olá Claudio,
>>onde fica o ponto E?
>>Com certeza, não basta ele pertencer a BD.
>>[]'s,
>>Rogério.
>>
>>-------------------------------------
>>Oi, pessoal:
>>
>>Um amigo me mandou este aqui, o qual nao me parece muito trivial...
>>
>>Let ABCD be a quadrilateral with an inscribed circle with center O (all
>>sides of the quadrilateral are tangent to the circle). Assume that O does
>>not lie on AC. Construct a line through E on BD perpendicular to BD.
>>Then this line meets OA at R and OC at S. Show that |ER|=|ES|.
>>
>>[]s,
>>Claudio.
>>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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