Re: [obm-l] aritimetica dos inteiros

[Jo�o Lu�s Gomes Guimar�es <joaoluis@xxxxxxxxxxxxx>]

Se voce considerar, inicialmente, a divis�o inteira, ver� que o quociente (que �
z) deve ser 7. Logo, de cara, sabemos que z=7. A parte decimal 0,3636...
corresponder�, ent�o, � divis�o do resto (que � 8) pelo divisor (que � y). Isso
corresponde � "continua��o" da divis�o inteira, ap�s obtido o resto. Ou seja,
8/y = 0,36... = 4/11. Da� se conclui que y = 22. Como j� conhecemos y = 22 e z =
7, fica f�cil calcularmos x: x = zy + 8 = 22*7+8 = 162.
Logo, x+y+z = 162+22+7 = 191.
Um abra�o,
jo�o lu�s.


----- Original Message ----- 
From: "Fabio Niski" <fniski@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, December 08, 2004 1:12 PM
Subject: [obm-l] aritimetica dos inteiros


Mandaram esse pergunta em uma comunidade de duvidas do orkut:

"UFMG (Adaptada): Considere x, y e z n�meros naturais. Na diviz�o de x
por y, obt�m-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representa��o
decimal de x/y � a d�zima peri�dica 7,36363636... . Qual o valor de x +
y + z.
A resposta � 191, mas estou com dificuldades de "fomalizar" a resposta
(p�-la em formato discursivo, estilo 2a fase)."

Segue a minha resposta:

"Bom acho que � facil (se n�o for, me de um toque e eu explico isso com
mais cuidado) inferir do enunciado que devemos resolver o sistema

{yz + 8 = x (I)
{99x = 729y (II)

de modo que x,y,z seja inteiros.

Bom de II vem que x = 729y/x
substituindo isso em I ficamos com

yz + 8 = (729y)/99
z = (729/99) - (8/y) (III)

Bom queremos solucoes inteiras
e eu sei que 729/99 = 7,363636...
Logo, para (III) ser inteiro,
(8/y) deve ser alguma tralha que acabe com ,363636...
Em particular(*) vamos impor que
8/y = 0,363636...
logo
792/y = 36
y = 22

De I e II voce tira que
x = 162 e z = 7."

A pergunta que fica � a seguinte...
Sera que existe algum numero a, tal que
impondo
8/y = a,363636...
y continua inteiro, x = 729y/99 tb continua inteiro?

A unicidade da resposta desse problema esta em aberto pra mim...se
alguem souber como provar (ou refutar) me avise!

Niski
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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