[obm-l] aritimetica dos inteiros

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Mandaram esse pergunta em uma comunidade de duvidas do orkut:

"UFMG (Adaptada): Considere x, y e z números naturais. Na divizão de x 
por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação 
decimal de x/y é a dízima periódica 7,36363636... . Qual o valor de x + 
y + z.
A resposta é 191, mas estou com dificuldades de "fomalizar" a resposta 
(pô-la em formato discursivo, estilo 2a fase)."

Segue a minha resposta:

"Bom acho que é facil (se não for, me de um toque e eu explico isso com 
mais cuidado) inferir do enunciado que devemos resolver o sistema

{yz + 8 = x (I)
{99x = 729y (II)

de modo que x,y,z seja inteiros.

Bom de II vem que x = 729y/x
substituindo isso em I ficamos com

yz + 8 = (729y)/99
z = (729/99) - (8/y) (III)

Bom queremos solucoes inteiras
e eu sei que 729/99 = 7,363636...
Logo, para (III) ser inteiro,
(8/y) deve ser alguma tralha que acabe com ,363636...
Em particular(*) vamos impor que
8/y = 0,363636...
logo
792/y = 36
y = 22

De I e II voce tira que
x = 162 e z = 7."

A pergunta que fica é a seguinte...
Sera que existe algum numero a, tal que
impondo
8/y = a,363636...
y continua inteiro, x = 729y/99 tb continua inteiro?

A unicidade da resposta desse problema esta em aberto pra mim...se 
alguem souber como provar (ou refutar) me avise!

Niski
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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