Re: [obm-l] Proporções de Áreas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Proporções de Áreas

Que tal reformular da seguinte forma:

Sejam: 
a = real positivo arbitrario mas fixo;
A = {(x,y) em R^2 | y > x^2/a};
B = {(x,y) em R^2 | y < x^2/a};
Q(b) = {(x,y) em R^2 | -b < x < b  e  -b < y < b}   onde  b > 0;
I(b) = A inter Q(b);
E(b) = B inter Q(b).

Calcule  area(E(b))/area(I(b)).

***

Para b > a^2, teremos:
area(I(b)) = 4*b*raiz(a*b)/3
area(E(b)) = 4b^2 -  4*b*raiz(a*b)/3 ==>
area(E(b))/area(I(b)) = 3*b/raiz(a*b) - 1 ==>
lim(b -> +inf) area(E(b))/area(I(b)) = +inf ==>
lim(b -> +inf) area(I(b))/area(E(b)) = 0.

[]s,
Claudio.

on 01.12.04 15:22, ZopTiger at zoptiger@terra.com.br wrote:

> Caros colegas,
> Tenho visto que nesta lista temos pessoas muito gabaritada no que diz respeito a matemática inclusive professores, portanto desejo lhes enviar um problema que na prática não vejo utilidade mas na teoria pode ser um desafio para quem gosta de desafios matemáticos, não retirei de nenhum livro nem na internet, foi uma idéia que tive e a solução pode ser polêmica, eu não saberia resolver, portanto estou enviando a lista para que se alguém tiver alguma idéia que compartilhe conosco.
>  
>  
> Imagine uma parábola de uma função f(x)=x^2, simples, agora uma de f(x)=1/100x^2, essa curvatura estará muito aberta ("um bocão"), e agora uma f(x)=100x^2, essa estará bastante fechada ("boquinha fechada").  Sabemos que a imagem das parábolas nos casos anteriores vai de 0 ao infinito.  Agora a questão: qual a área hachurada do interior de uma parábola (parte interna - "dentro da boca")? não precisamos calcular pois se a imagem vai ao infinito, diremos que essa área é infinita também, para os três casos citados acima teremos a mesma medida de área: infinito.  Até aqui os "cálculos" foram dedutíveis sem fórmulas matemática, apenas uma questão de lógica.  Mas vamos olhar o outro lado da parábola, o lado de fora, podemos também hachurar o lado de fora e querermos o valor da área externa... que vamos deduzir como na forma interior que a área externa é infinita, pois bem, agora vamos pensar (que é a questão em si) em proporções, 
>  
> Qual é a proporção ÁREAint/ÁREAext de uma parábola dada uma função f(x)=ax^2 + bx + c ???
>  
> Imagine uma função f(x)=1/ax^2 com a, tendendo ao infinito, nesse caso minha "parábola" seria uma reta coincidindo com o eixo x, nesse caso ÁREAint/ÁREAext seria de 50% pois a mesma área que teríamos acima do eixo x seria a mesma debaixo dele, ok, isso é polêmico pois infinito/infinito é indefinido mas visualmente podemos admitir isso, porém em qualquer situação em que 1/a em f(x)=1/ax^2 for menor que infinito nossa proporção tem que ser menor que 50%. mas qual?
>  
> essa é uma idéia que talvez não tenha argumentos matemático para prová-la (pelo menos eu acho)  mas também não existe argumento para provar que a área interna de uma parábola, por exemplo f(x)=x^2, e a área externa seja igual, igual a infinito, visualmente isso não pode ser entendido, tem que existir uma proporção, menor que 50%.
>  
> quem tiver alguma idéia essa questão, compartilhe conosco.
>  
> Até logo
> Zoptiger