Re: [obm-l] Propor��es de �reas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Propor��es de �reas

Que tal reformular da seguinte forma:

Sejam: 
a = real positivo arbitrario mas fixo;
A = {(x,y) em R^2 | y > x^2/a};
B = {(x,y) em R^2 | y < x^2/a};
Q(b) = {(x,y) em R^2 | -b < x < b  e  -b < y < b}   onde  b > 0;
I(b) = A inter Q(b);
E(b) = B inter Q(b).

Calcule  area(E(b))/area(I(b)).

***

Para b > a^2, teremos:
area(I(b)) = 4*b*raiz(a*b)/3
area(E(b)) = 4b^2 -  4*b*raiz(a*b)/3 ==>
area(E(b))/area(I(b)) = 3*b/raiz(a*b) - 1 ==>
lim(b -> +inf) area(E(b))/area(I(b)) = +inf ==>
lim(b -> +inf) area(I(b))/area(E(b)) = 0.

[]s,
Claudio.

on 01.12.04 15:22, ZopTiger at zoptiger@terra.com.br wrote:

> Caros colegas,
> Tenho visto que nesta lista temos pessoas muito gabaritada no que diz respeito a matem�tica inclusive professores, portanto desejo lhes enviar um problema que na pr�tica n�o vejo utilidade mas na teoria pode ser um desafio para quem gosta de desafios matem�ticos, n�o retirei de nenhum livro nem na internet, foi uma id�ia que tive e a solu��o pode ser pol�mica, eu n�o saberia resolver, portanto estou enviando a lista para que se algu�m tiver alguma id�ia que compartilhe conosco.
>  
>  
> Imagine uma par�bola de uma fun��o f(x)=x^2, simples, agora uma de f(x)=1/100x^2, essa curvatura estar� muito aberta ("um boc�o"), e agora uma f(x)=100x^2, essa estar� bastante fechada ("boquinha fechada").  Sabemos que a imagem das par�bolas nos casos anteriores vai de 0 ao infinito.  Agora a quest�o: qual a �rea hachurada do interior de uma par�bola (parte interna - "dentro da boca")? n�o precisamos calcular pois se a imagem vai ao infinito, diremos que essa �rea � infinita tamb�m, para os tr�s casos citados acima teremos a mesma medida de �rea: infinito.  At� aqui os "c�lculos" foram dedut�veis sem f�rmulas matem�tica, apenas uma quest�o de l�gica.  Mas vamos olhar o outro lado da par�bola, o lado de fora, podemos tamb�m hachurar o lado de fora e querermos o valor da �rea externa... que vamos deduzir como na forma interior que a �rea externa � infinita, pois bem, agora vamos pensar (que � a quest�o em si) em propor��es, 
>  
> Qual � a propor��o �REAint/�REAext de uma par�bola dada uma fun��o f(x)=ax^2 + bx + c ???
>  
> Imagine uma fun��o f(x)=1/ax^2 com a, tendendo ao infinito, nesse caso minha "par�bola" seria uma reta coincidindo com o eixo x, nesse caso �REAint/�REAext seria de 50% pois a mesma �rea que ter�amos acima do eixo x seria a mesma debaixo dele, ok, isso � pol�mico pois infinito/infinito � indefinido mas visualmente podemos admitir isso, por�m em qualquer situa��o em que 1/a em f(x)=1/ax^2 for menor que infinito nossa propor��o tem que ser menor que 50%. mas qual?
>  
> essa � uma id�ia que talvez n�o tenha argumentos matem�tico para prov�-la (pelo menos eu acho)  mas tamb�m n�o existe argumento para provar que a �rea interna de uma par�bola, por exemplo f(x)=x^2, e a �rea externa seja igual, igual a infinito, visualmente isso n�o pode ser entendido, tem que existir uma propor��o, menor que 50%.
>  
> quem tiver alguma id�ia essa quest�o, compartilhe conosco.
>  
> At� logo
> Zoptiger