[obm-l] CAIXAS DE FÓSFOROS DE BANACH!

[jorgeluis@xxxxxxxxxxxxx]

Um certo matemático sempre carrega uma caixa de fósforos no seu bolso do lado
direito e uma outra no bolso do lado esquerdo. Sempre que ele precisa de um
fósforo ele escolhe um bolso ao acaso e assim, as escolhas sucessivas formam
uma sequência de ensaios de Bernoulli, com p=1/2. Suponhamos que, inicialmente,
cada caixa contenha exatamente n palitos de fósforo e consideremos o instante no
qual, pela primeira vez, o matemático encontra uma caixa vazia. Nesse instante a
outra caixa poderá conter 0, 1, 2,...., n palitos e denotaremos as
probabilidades correspondentes por Ur. Vamos chamar de "sucesso" a escolha do
bolso esquerdo. O matemático encontrará o bolso esquerdo vazio num instante em
que o bolso direito contenha r palitos, se, e somente se, o (n+1)-ésimo sucesso
for precedido por exatamente n-r fracassos. A probabilidade desse evento é
f(n-r;n+1;1/2). O mesmo argumento se aplica ao bolso do lado direito. Determine
a probabilidade de que no instante em que se esvazia a primeira caixa, (observe
que ele não coincide com o instante em que ela é encontrada vazia) a outra
contenha exatamente r palitos (r=1, 2,...,n).

A propósito, usando as letras A, B e C podemos formar 3^n "palavras" de n
letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A's adjacentes?

Abraços!


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