Re: [obm-l] Provar uma congruencia

[Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@xxxxxxxxxxxx>]

acho que a minha resposta tah bacana:

F(n) = n^5 - 20n^4 + 40n^3 + 70n^2 + 79n - 50

para reduzir o grau dessa expressao, podemos utilizar uma outra que sabemos que eh multipla de 120:
por exemplo: (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)
esse numero eh multiplo de 120 pois eh multiplo de 5 (produto de 5 numeros consecutivos), eh multiplo de 3 (produto de tres numeros consecutivos) e eh multiplo de 8 (produto de pelo menos dois numeros pares consecutivos)

(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) = n^5 - 15n^4 + 85n^3 - 225n^2 + 274n - 120

e portanto: F(n) = (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) - 5n^4 - 45n^3 + 295n^2 - 195n + 70
F(n) = (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) - 5( n^4 + 9n^3 - 59n^2 + 39n - 14)

entao, para provar que F(n) = 0 (mod 120), para qualquer primo maior que 7, basta provar que P(n) = n^4 + 9n^3 - 59n^2 + 39n - 14 = 0 (mod 24), para qualquer primo maior que 7.

agora vamos utilizar o mesmo procedimento: sabemos que o produto de quatro numeros consecutivos eh multplo de 24, vamos usar a expressao n(n+1)(n+2)(n+3) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n

portanto, P(n) = n(n+1)(n+2)(n+3) + 3n^3 - 70n^2 + 33n - 14

entao, para provar que F(n) = 0 (mod 120) para qualquer primo maior que 7, basta provar que Q(n) = 3n^3 - 70n^2 + 33n - 14 = 0 (mod 24) para qualquer primo maior que 7.

se o numero é primo e maior que 7, entao ele é ímpar e pode ser escrito como n = 2k+1

Q(2k+1) = 3[2k + 1]^3 - 70[2k + 1]^2 + 33[2k + 1] - 14 = 4[6k^3 - 61k^2 - 49k - 12]

portanto, basta provar que 6k^3 - 61k^2 - 49k - 12 é multiplo de 6

multiplo de 2 percebos que eh, pois se k for impar teremos:

par - impar - impar - par = par

se k for par, teremos:

par - par - par - par = par

entao, soh falta provar que é multiplo de 3, o que será se 61k^2 + 49k o for.

caso k = 3p, 61k^2 + 49k = k(61k + 49) = 3p(61k + 49), que eh multiplo de 3
k = 3p + 1 faria com que o numero n fosse igual a 3(3p + 1), o que contraria a hipótese de que n é primo e maior que 7
caso k = 3p + 2,  61k^2 + 49k = 3[183p^2 + 293p + 114], que eh multiplo de 3


como soh falatava provar isso, a tese estah provada 

On Wed, Oct 13, 2004 at 07:19:28PM -0300, Demetrio Freitas wrote:
> Ola,
> 
> Gostaria de provar uma congruencia. 
> 
> Dado F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n -50 
> Prove que F(n) = 0 (mod 120), se n for primo > 7.
> (Onde = denota conguente)
> 
> Por exemplo:
> F(11) = -69240 = -120 * 577
> F(19) = 170760 =  120 * 1423
> F(97) = 6853927800 = 120 * 57116065
> F(563) = 54562015773960 = 120 * 454683464783
> 
> Porem:
> F(15) = -101240 -> nao divisivel por 120
> F(129) = 30271636600 -> nao divisivel por 120
> F(597) = 73303331579800 -> nao divisivel por 120
> 
> 
> Qual caminho usar?
> 
> Obrigado,
> 
> Demetrio
> 
> OBS:
> Naturalmente a condição eh "se n primo" e não "sse (se
> e somente se)", pois ha muitos n compostos onde F(n) 
> = 0 (mod 120)
> 
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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