Re: [obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> 
> A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?   Abraços!

	Deve ter jeito fácil de fazer, eu naturalmente só sei
o jeito difícil hehe

	Considere o binômio de Newton:

	(a+b)^n=sum[1,n]{binomial(n,i).a^(n-i).b^i}

	Substituindo a=99, n=99, b=1:

	100^99=(99+1)^99=
	sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i).1^99}=
	sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i)}=
	sum[1,99]{99!/i!/(99-i)! .99^(99-i)}=
	sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)}

	Agora basta ver o conteúdo de cada termo do somatório.
Cada termo é formado de um número de parcelas. Primeiro eu
tenho (i) parcelas, que vão de 99 a (99-i+1), ou seja, todos
elas são menores ou igual a 99. Depois eu tenho mais
(99-i) parcelas iguais a 99, que obviamente são menores
ou iguais a 99. Ou seja, no total eu tenho (i+99-i)=99 parcelas
menores ou iguais a 99. Como isso ainda vai dividido por i!,
então cada termo do somatório é menor que 99^99 (exceto
quando i=1, mas isso não afeta o raciocínio). Então:

	sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)} < 99.(99^99)
	100^99 < 99(99^99)
	100^99 < 99^100

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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