Re: [obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Uma ideia eh usar que (1+1/n)^n eh uma sequencia monotona crescente que
converge pra e:

100^99/99^100 = (1/99)*(100/99)^99 = (1/99)*(1 + 1/99)^99 < e/99 < 1 ==>
100/99 < 99^100.

[]s,
Claudio.

on 14.10.04 02:02, Ricardo Bittencourt at ricbit@700km.com.br wrote:

> jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
>> 
>> A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?   Abraços!
> 
> Deve ter jeito fácil de fazer, eu naturalmente só sei
> o jeito difícil hehe
> 
> Considere o binômio de Newton:
> 
> (a+b)^n=sum[1,n]{binomial(n,i).a^(n-i).b^i}
> 
> Substituindo a=99, n=99, b=1:
> 
> 100^99=(99+1)^99=
> sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i).1^99}=
> sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i)}=
> sum[1,99]{99!/i!/(99-i)! .99^(99-i)}=
> sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)}
> 
> Agora basta ver o conteúdo de cada termo do somatório.
> Cada termo é formado de um número de parcelas. Primeiro eu
> tenho (i) parcelas, que vão de 99 a (99-i+1), ou seja, todos
> elas são menores ou igual a 99. Depois eu tenho mais
> (99-i) parcelas iguais a 99, que obviamente são menores
> ou iguais a 99. Ou seja, no total eu tenho (i+99-i)=99 parcelas
> menores ou iguais a 99. Como isso ainda vai dividido por i!,
> então cada termo do somatório é menor que 99^99 (exceto
> quando i=1, mas isso não afeta o raciocínio). Então:
> 
> sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)} < 99.(99^99)
> 100^99 < 99(99^99)
> 100^99 < 99^100
> 
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> Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
> ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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