| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 4 Oct 2004 19:32:07 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] funçao continua |
> Notaçoes:
> <= menor ou igual
>
> Seja F uma funçao continua no quadrado:
> Q = {(x,y) pert. a R^2 tal que |x| <= 1 e |y| <= 1
> Sendo A:= max { min F(x,y)} e
> |x| <= 1 |y| <= 1
>
> B:= min { max F(x,y)}
> |y| <= 1 |x| <= 1
> Prove que A <= B.
>
>
Aqui vai minha tentativa:
Como Q é compacto e F é contínua, os máximos e mínimos acima são efetivamente atingidos.
Sejam:
A(x) = min(|v|<=1) F(x,v) e B(y) = max(|u|<=1) F(u,y)
Queremos provar que:
A = max(|x|<=1) A(x) <= min(|y|<=1) B(y) = B
Para isso, basta provar que, para todo (x,y) em Q, A(x) <= B(y).
Fixemos arbitrariamente x em [-1,1].
Inicialmente, teremos:
A(x) = min(|v|<=1) F(x,v) <= F(x,y), qualquer que seja y em [-1,1].
Por outro lado, ainda com este x e para cada y em [-1,1], teremos:
F(x,y) <= max(|u|<=1) F(u,y) = B(y)
Ou seja, com x escolhido arbitrariamente em [-1,1], concluímos que, para cada y em [-1,1] vale A(x) <= B(y).
Em particular, A = max(|x|<=1) A(x) <= min(|y|<=1) B(y) = B.
[]s,
Claudio.