Re: [obm-l] Intervalos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>[eu conhecia a definição de funções >uniformemente contínuas para funções
complexas, >para as reais é um pouco mais fácil :)]
Acho que a dificuldae h a mesma

>b)Prove que se f satisfaz |f(x)-f(y)|<C.|x-y| >para todos x, y reais e
alguma constante C>0 >então f é uniformemente contínua.
>c)Prove que toda função contínua definida em um 
>intervalo fechado é uniformemente contínua.

No item b eu comecei a partir da hipótese de que
|f(x)-f(y)|<C.|x-y|, C>0
Dividi os dois lados pelo numero positivo
|x-y| ficando
|f(x)-f(y)|/|x-y|=|[f(x)-f(y)]/(x-y)|<C
>Extraindo o limite de ambos os membros quando x->>y vem que f'(x)=C>0=> f é
derivável 
???? Naum se pode comcluir isto. Nada garante que o limite exista

> e de imediato é continua.
Continua sim, mas naum porque tenha que ser  ser derivavel.
Eh bem mais simples! O buraco eh bem mais em cima! Para e>0, basta escolher
d= e/C.
Funcoes com tal caracteristica sao ditas funcoes lipschitz. Sao sempre
uniform. continuas, mas nao tem que ser derivaveis.. 

>Mas no item c não tenho idéia. Alguém se >habilita ?

Isto eh consequencia de um teorema mais abrangente que diz que funcoes
continuas em conjuntos compactos sao uniformenete continuas. A prova disto
estah em qualquer livro de Analise. 
Artur 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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