[obm-l] limites iterados

["Eric" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Ola

Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
seguinte resultado sobre limites iterados:

Se lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b) e se
existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x -> a
e h(x) = lim f(x,y) quando y -> b entao
lim (  lim f(x,y)) = L
y->b  x->a

Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
de Calculo de Tom Apostol, volume 2.

Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
modos e cada prova que conseguia
tinha algum erro que a invalidava.

Ninguem da turma fez e a professora falou
que realmente nao tinhamos entendido limites.

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Uma ideia que tive foi:

Como existe o limite bidimensional entao,
por definicao, para todo eps>0, existe d>0
tal que

[1] ----- 0<||(x,y)-(a,b)||<d implica em
[2] ----- |f(x,y)-L|<eps. 

Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
x->a
[L - eps, L + eps]
sempre que 0<|y-b|<d
Nao sei provar isto, principalmente a parte do
'sempre que', alguma dica? Fazendo
uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]

Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
sempre que 0<|y-b|<d eh afirmar que
0<|y-b|<d acarreta |g(y)-L|<eps,
que significa que
lim g(y) = L
y->b

isto eh

lim (  lim f(x,y)) = L
y->b x->a

que eh o que quero mostrar.

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Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
encontrar essa demonstracao na WWW.

[ ]'s

Eric

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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