Re: [obm-l] limites iterados

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Eric
Isto naum eh propriamente dificil, mas exige alguma
pratica com o manuseio de limites.
De lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b), segue-se que,
para todo eps>0, existe d1>0 tal que, se 0 <|(x,y) -
(a,b)| < d1 entao |f(x,y) - L| < eps (1), com  (x,y)
no dominio de f, o que sempre admitiremos. Sendo d=
raiz(d1)/2, entao 1 serah satisfeita sempre que
0<|x-a| < d e 0<|y-b| < d.  Fixemos um y que satisfaca
a esta ultima desigualdade e facamos x->a. Entao, a
existencia para este y de g(y) = lim f(x,y) quando x
-> a implica que |f(x,y) - L| -> |g(y) - L|. E, de
(1), segue-se das propriedades de limites que |g(y) -
L| <=eps. Concluimos assim, em ultima analise que,
para todo eps 0, existe d>0 tal que |g(y) - L| <=eps
para 0< |y-b|< d, ou seja g(y) -> L quando x-> b.
Artur
    


--- Eric <mathfire@ig.com.br> wrote:

> Ola
> 
> Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas
> o
> seguinte resultado sobre limites iterados:
> 
> Se lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b) e se
> existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x -> a
> e h(x) = lim f(x,y) quando y -> b entao
> lim (  lim f(x,y)) = L
> y->b  x->a
> 
> Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
> de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
> 
> Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
> modos e cada prova que conseguia
> tinha algum erro que a invalidava.
> 
> Ninguem da turma fez e a professora falou
> que realmente nao tinhamos entendido limites.
> 
> -----
> Uma ideia que tive foi:
> 
> Como existe o limite bidimensional entao,
> por definicao, para todo eps>0, existe d>0
> tal que
> 
> [1] ----- 0<||(x,y)-(a,b)||<d implica em
> [2] ----- |f(x,y)-L|<eps. 
> 
> Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
> lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
> x->a
> [L - eps, L + eps]
> sempre que 0<|y-b|<d
> Nao sei provar isto, principalmente a parte do
> 'sempre que', alguma dica? Fazendo
> uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
> porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
> ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
> deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
> 
> Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
> sempre que 0<|y-b|<d eh afirmar que
> 0<|y-b|<d acarreta |g(y)-L|<eps,
> que significa que
> lim g(y) = L
> y->b
> 
> isto eh
> 
> lim (  lim f(x,y)) = L
> y->b x->a
> 
> que eh o que quero mostrar.
> 
> -----------
> Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
> encontrar essa demonstracao na WWW.
> 
> [ ]'s
> 
> Eric
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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