Artur,
Eu acho que a função seria uniformemente
contínua apenas se U fosse convexo. Eu entendo que uniformemente contínua
significa que eu sempre consigo aproximar a imagem de dois pontos quaisquer a
partir de sua aproximação. Então, para o caso de U não ser convexo, vão existir
pares no domínio tais que a reta que os une não está inteiramente contida em U.
Voce concorda?
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Friday, June 25, 2004
12:51 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Derivadas
Parciais
Oi Wellinton, esta questao jah
esteve na lista sim. Para resolve-la, veja a sugestao
do Claudio.
Uma observacao. A funcao eh uniformemente continua, sim. A condicao |
F(X) – F(Y) | <= M | X – Y | para quaisquer X, Y
pertencente a U, eh conhecida por condicao de Lipschitz e implica continuidade
uniforme. Dado eps>0, basta escolher delta = eps/M e teremos|
F(X) – F(Y) | < eps para todos X e Y em U que satisfacam
a | X – Y | < delta.
Artur
P arece que a questão abaixo esteve
na lista. Alguém poderia me ajudar a encontrá-la?
1) Prove que se F
(definida num subconjunto U aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais,
com |dF/dXi|<=M (i variando de 1 a m) em todos os pontos de U, então, | F(X)
– F(Y) | <= M | X – Y | (norma da soma) para quaisquer X, Y
pertencente a U. Conclua que se F possui derivadas parciais limitadas num
aberto qualquer ela é contínua (mas não necessariamente uniformemente
contínua).
[ ]’s
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