Re: [obm-l] densidade e abertos.

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Will, acho que vc tem raz�o. Na verdade o prblema diz o seguinte:

 

Seja A um aberto em M. Se X � denso em M, ent�o X inter A � denso em A.

 

Obs.: A e X s�o subconjuntos do espa�o m�trico M.

 

O problema � que fiz uma reformula��o errada desse problema. Eu n�o iria consiguir provar nunca!!!

 

Veja se solu��o abaixo estah correta:

 

Mostrar que X inter A � denso em A � mesmo que mostrar que toda bola aberta em A cont�m algum ponto de X inter A, i.e., se B � uma bola aberta em A, ent�o o conjunto B inter (X inter A) � diferente do vazio. Mas sendo A um conjunto aberto em M, temos que para todo a em A, existe eps > 0 t.q. B = B(a;eps) contido A contido M. Como X � denso em M, segue-se que o conjunto B inter X � diferente do vazio, o que implica que B inter (X inter A) � diferente do vazio. Isso mostra nossa tese.

 

Will <will@ism.com.br> wrote:

> Gostaria que algu�m me ajudasse com a seguinte quest�o:
>
> Sejam A um aberto em M e X denso em M. Prove que fecho da interse��o de A
> com X � igual a A. Obs.: A e X s�o subconjuntos de M.
>
>
> ----------
>
> O correto n�o seria "Prove que o fecho da interse��o de A com X cont�m A ?"
>
> Sen�o eu poderia supor M=R , X=Q , A=(1,2)
>
> o fecho de A(inter)X � B= [1,2] , que � diferente de A.
>
> Will
>
>
>
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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