Re: [obm-l] funções

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] funções

on 09.06.04 06:55, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Vejam que legal:
>  
> Sejam f: X --> Y e g: Z --> W contínuas t.q gof : X --> P tenha sua inversa contínua. Supondo f sobrejetora, tem-se como provar que as inversas de f e g também são contínuas? 
>
> Oi, Eder:
>
> Antes de mais nada, temos que supor que Y estah contido em Z e que g(Z) estah contido em P.
>
> Para podermos falar das inversas de f, g e gof, todas as 3 funcoes tem que ser bijetoras. Em particular, f(X) = Y, g(Z) = W e (gof)(X) = g(f(X)) = g(Y) = W.
> Alem isso, como g eh bijetora e g(Z) = W, temos que Y = Z.
>
> Em suma, temos f: X -> Y, g: Y -> W, gof: X -> W, com f e g bijetoras.
>  
> Por hipotese, f, g e (gof)^(-1) sao continuas.
>
> Mas f^(-1) = (gof)^(-1) o g, pois, dado y em Y, teremos:
> ((gof)^(-1) o g)(y) = (gof)^(-1)(g(y)) = f^(-1)(g^(-1)(g(y))) = f^(-1)(y).
>
> Tambem g^(-1) = f o (gof)^(-1), pois, dado w em W, teremos:
> (f o (gof)^(-1))(w) = f((gof)^(-1)(w)) = f(f^(-1)(g^(-1)(w))) = g^(-1)(w).
>
> Como a composta de funcoes continuas eh continua, o resultado estah provado.
>
> Certamente, o resultado vale para X, Y, W espacos metricos quaisquer.
> Eu diria mais: vale em quaisquer espacos topologicos onde voce possa falar em continuidade. Nesse ultimo caso, dizemos que uma funcao f:A -> B entre os espacos topologicos A e B eh continua se e somente se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de B eh um subconjunto aberto de A.
>
> Alias, um bom exercicio eh provar isso para A e B contidos em R.
>
> []s,
> Claudio.