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RES: [obm-l] Soma...
Extraindo dessa mensagem essa parte:
> Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos
> quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos
> concluir que:
> S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i)
>
> Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na
> diferença S[n]
> - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser
> cancelados.
Não entendi pq o dá pra inferir que o grau do polinomio é 3...
Será alguem pode explicar isso?
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de Rogério Moraes
> de Carvalho
> Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 10:25
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RE: [obm-l] Soma...
>
> Olá Crom,
>
> Muitos livros de Matemática apresentam uma possível
> dedução da fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro
> positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que
> você apresentou parcialmente, ou seja, usando o
> desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao
> aplicar o somatório com x variando de 1 até n a ambos os
> membros da igualdade, os termos de grau (k + 1) podem ser
> cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro membro
> da igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade.
> Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências
> k-ésimas, nós precisamos conhecer todas as fórmulas das somas
> das potências com expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós
> encontramos uma fórmula de recorrência para deduzir a soma
> das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos,
> porém o processo vai ficando muito longo à medida que os
> expoentes vão crescendo.
>
> A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado
> para encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros
> inteiros positivos de forma direta. Neste método, não há a
> necessidade de se conhecer as fórmulas das somas das
> potências com expoente de 1 até (k - 1)
>
>
> DEDUÇÃO POSSÍVEL:
>
> Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos
> quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos
> concluir que:
> S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i)
>
> Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na
> diferença S[n]
> - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser
> cancelados. Sendo assim, podemos escrever:
> S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d
> O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos.
> Portanto, d = 0.
> S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii)
>
> Substituindo a (ii) na (i):
> a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2
> 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2
> 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2
>
> Pela identidade de polinômios, devemos ter:
> 3a = 1 <=> a = 1/3
> 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2
> a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6
>
> Substituindo a, b e c no polinômio (ii):
> S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6
>
> Fatorando:
> S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6
> S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6
>
> S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6
>
> Para o caso particular do problema apresentado, teremos:
> S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385
>
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> ________________________________________
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DEOLIVEIRASOU@aol.com
> Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Soma...
>
> Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2?
> Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito,
> 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1
> 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1
> ------------------------------------------------------
> 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando
> convenientemente 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha
> pergunta é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de
> quadrados perfeitos??
> Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento.
> Crom
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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