RE: [obm-l] Soma...

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Crom,

	Muitos livros de Matemática apresentam uma possível dedução da
fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro positivo) dos n primeiros
inteiros positivos pelo método que você apresentou parcialmente, ou seja,
usando o desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o
somatório com x variando de 1 até n a ambos os membros da igualdade, os
termos de grau (k + 1) podem ser cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1)
no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da
igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências k-ésimas,
nós precisamos conhecer todas as fórmulas das somas das potências com
expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós encontramos uma fórmula de
recorrência para deduzir a soma das potências k-ésimas dos n primeiros
inteiros positivos, porém o processo vai ficando muito longo à medida que os
expoentes vão crescendo.

	A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado para
encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos
de forma direta. Neste método, não há a necessidade de se conhecer as
fórmulas das somas das potências com expoente de 1 até (k - 1)


DEDUÇÃO POSSÍVEL:

	Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n
primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que:
S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i)

Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na diferença S[n]
- S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser cancelados. Sendo
assim, podemos escrever:
S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d
O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos. Portanto, d =
0.
S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii)

Substituindo a (ii) na (i):
a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2
3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2
3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2

Pela identidade de polinômios, devemos ter:
3a = 1 <=> a = 1/3
2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2
a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6

Substituindo a, b e c no polinômio (ii):
S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6

Fatorando:
S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6
S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6

S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

Para o caso particular do problema apresentado, teremos:
S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
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From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of DEOLIVEIRASOU@aol.com
Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Soma...

Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2?
Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito,
2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1
3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1
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11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando convenientemente
3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha pergunta é: Existe um modo mais
fácil de se achar soma de quadrados perfeitos??
          Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento.
                   Crom



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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