Re: [obm-l] Unicidade de um trinômio

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.05.04 02:58, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Pessoal,
> 
> Há alguns dias li este problema em outra lista:
> 
> "Provar que se um número irracional for zero de um trinômio do 2° grau,
> x^2 + ax + b, com a e b racionais, então o trinômio será único."
> 
> ............................................................................
> ..........................................
> 
> 
> Pelo teorema das raízes irracionais, sabemos que se m + sqrt(n) for raiz
> irracional, então m - sqrt(n) também o será, com m e n racionais. Penso que
> assim fique garantido que o trinômio existe, pois os seus coeficientes
> serão racionais:
> 
> m + sqrt(n) + m - sqrt(n) = 2m
> (m + sqrt(n))(m - sqrt(n)) = m^2 - n
> 
> 
> No entanto, isso é suficiente para provar que ele é único? E, além disso,
> desconsiderando a validade do teorema das raízes irracionais para o
> problema, existiria uma outra forma de fazer a demonstração?
> 
> 
> Já agradeço por qualquer sugestão, dica, comentário, ...
> 
> 
> Obrigado,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
Seja u iracional.

Suponhamos que u seja raiz de x^2 + ax + b e de x^2 + cx + d.
Entao, u^2 + au + b = u^2 + cu + d = 0 ==>

Subtraindo: (a-c)u + (b-d) = 0.

Se a <> c, entao, u = (d-b)/(a-c) = racional ==> contradicao.
Logo, a = c.

Mas nesse caso, teremos b-d = 0, o que soh eh verdade se b = d.

Logo, a = c  e  b = d  e o trinomio eh unico.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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