Re: [obm-l] Unicidade de um trin�mio

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.05.04 02:58, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Pessoal,
> 
> H� alguns dias li este problema em outra lista:
> 
> "Provar que se um n�mero irracional for zero de um trin�mio do 2� grau,
> x^2 + ax + b, com a e b racionais, ent�o o trin�mio ser� �nico."
> 
> ............................................................................
> ..........................................
> 
> 
> Pelo teorema das ra�zes irracionais, sabemos que se m + sqrt(n) for raiz
> irracional, ent�o m - sqrt(n) tamb�m o ser�, com m e n racionais. Penso que
> assim fique garantido que o trin�mio existe, pois os seus coeficientes
> ser�o racionais:
> 
> m + sqrt(n) + m - sqrt(n) = 2m
> (m + sqrt(n))(m - sqrt(n)) = m^2 - n
> 
> 
> No entanto, isso � suficiente para provar que ele � �nico? E, al�m disso,
> desconsiderando a validade do teorema das ra�zes irracionais para o
> problema, existiria uma outra forma de fazer a demonstra��o?
> 
> 
> J� agrade�o por qualquer sugest�o, dica, coment�rio, ...
> 
> 
> Obrigado,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
Seja u iracional.

Suponhamos que u seja raiz de x^2 + ax + b e de x^2 + cx + d.
Entao, u^2 + au + b = u^2 + cu + d = 0 ==>

Subtraindo: (a-c)u + (b-d) = 0.

Se a <> c, entao, u = (d-b)/(a-c) = racional ==> contradicao.
Logo, a = c.

Mas nesse caso, teremos b-d = 0, o que soh eh verdade se b = d.

Logo, a = c  e  b = d  e o trinomio eh unico.

[]s,
Claudio.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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