[obm-l] Unicidade de um trinômio

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Pessoal,

Há alguns dias li este problema em outra lista:

"Provar que se um número irracional for zero de um trinômio do 2° grau,
x^2 + ax + b, com a e b racionais, então o trinômio será único."

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Pelo teorema das raízes irracionais, sabemos que se m + sqrt(n) for raiz
irracional, então m - sqrt(n) também o será, com m e n racionais. Penso que
assim fique garantido que o trinômio existe, pois os seus coeficientes
serão racionais:

m + sqrt(n) + m - sqrt(n) = 2m
(m + sqrt(n))(m - sqrt(n)) = m^2 - n


No entanto, isso é suficiente para provar que ele é único? E, além disso,
desconsiderando a validade do teorema das raízes irracionais para o
problema, existiria uma outra forma de fazer a demonstração?


Já agradeço por qualquer sugestão, dica, comentário, ...


Obrigado,

Rafael de A. Sampaio


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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