RE: [obm-l] Cone Sul - Problema 2

[André Araújo <araujoime@xxxxxxxxxxx>]

Abaixo uma outra solucao p/ o problema 2 da Cone Sul.

segunda solucao:

Seja S a intersecao de AB com a reta PO, onde O eh o centro de C. Eh facil 
ver q AB eh perpendicular a PS. Dai conclui-se:

i) quadrilatero PMSA eh inscritivel (ang PSA = ang PMA = 90);
ii) quadrilatero PNSB eh inscritivel (ang PSB = ang PNB = 90);

Como PA e PB sao tangentes a C, tem-se:

iii) ang ABQ = ang PAM = arco menor AQ/2;
iv) ang PBQ = ang BAQ = arco menor BQ/2;

De i), ii), iii) e iv) tem-se:

v) ang MSP = ang PAM = ang ABQ = ang NPS;
vi) ang NSP = ang PBQ = ang BAQ = ang MPS;

De v) e vi) conclui-se que os triangulos PMS e PNS sao congruentes, caso 
A.L.A. Ou seja, PMSN eh paralelogramo. Logo a reta MN corta o ponto medio PS 
(fixo).

[ ]'s

AA.



>Cone Sul - Problema 2
>
>"Dada uma circunferencia C e um ponto P exterior a ela, tracam-se por P as
>duas tangentes aa circunferencia, sendo A e B os pontos de tangencia.
>Toma-se um ponto Q sobre o menor arco AB de C. Seja M a intersecao da reta
>AQ com a perpendicular a AQ tracada por P e seja N a intersecao da reta BQ
>com a perpendicular a BQ tracada por P. Demonstre que, ao variar Q no arco
>AB, todas as retas MN passam por um mesmo ponto.
>
>
>Solucao:
>
>Sejam:
>H o pe da perpendicular de P a AB
>R e S as projecoes de N e M, respectivamente, a PH
>Q e T as projecoes de N e M, respectivamente, a AB
>
>No triangulo PNM:
>PN = PB.sen(<PBN) (I)
>
>QH = NR = PN.sen(<NPR) = PN.sen(<NBA) (quadrilat. NPBH inscrit.) => (por I)
>
>QH = PB.sen(<PBN).sen(<NBA)
>
>Da mesma forma encontramos:
>
>TH = PA.sen(<PAM).sen(<MAB)
>
>Como PA = PB, <PAM = <NBA e <PBN = <MAB, entao GH = TH
>
>Logo, a intersecao de MN com a altura PH se da no ponto medio de MN, que
>chamamos de L, e LH eh base media do trapezio QNMT com bases NQ e MT.
>Entao LH = (NQ + MT)/2
>
>Mas NQ = PH - PR = PH - PN.cos(<NPR) = PH - PB.sen(<PBN).cos(<NBA)
>
>Da mesma forma:
>
>MT = PH - PA.sen(<NBA).cos(<PBN)
>
>e
>
>NQ + MT = 2PH - PA.(sen(<PBN).cos(<NBA) + sen(<NBA).cos(<PBN)) =
>
>= 2PH - PA.sen(<PBN + <NBA) = 2PH - PA.sen(<PBA) = 2PH - PH = PH
>
>e LH = (NQ + MT)/2 = PH/2
>
>
>Ou seja, todas as retas MN passam pelo ponto medio da altura PH.
>
>[]'s
>
>#####################################
># MSc. Edson Ricardo de A. Silva    #
># Computer Graphics Group (CRAB)    #
># Federal University of Ceara (UFC) #
>#####################################
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================

_________________________________________________________________
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================