[obm-l] Olimpiadas Russas ( 104 a 107 )

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Nos intervalos aqui no trabalho, eu vou traduzindo os problemas e 
disponibilizando pra voces. Reitero
que as questoes exigem "mais ou menos" um conhecimento a nivel de 8 serie ai 
no Brasil. A minha ideia e disponibilizar cerca de 7 por semana, mas nao 
posso prometer que manterei esta
frequencia.

Agradeco de coracao aos colegas que estao adiantando as solucoes.

As traducoes sao minhas e, evidentemente, nao da pra fazer uma traducao por 
palavra, pois neste idiomas muitas delas nao tem um significado 
correspondente no nosso. Mas me preocupei em manter
o significado matematico. Qualquer erro identificado a culpa e 
exclusivamente minha.




104 – Tres esferas sao construidas tais que os lados AB, BC e AD do 
tetraedro ABCD sao os diametros destas esferas. Prove que as esferas cobrem 
totalmente o tetraedro.

105 -  Os elementos de uma matriz 4x4 sao os sinais "+" e "-". ( veja abaixo 
). E permitido modificar simultaneamente todos os sinais de uma linha, 
coluna ou diagonal pelos seus opostos, tantas vezes quanto desejarmos.
A) Prove que com as operacoes acima definidas, nunca conseguiremos uma 
matriz formada apenas com sinais positivos.
B) Prove que se a matriz for 8x8 ( com as mesmas operacoes definidas ) , 
qualquer que seja o preenchimento, se nenhum canto ( A11, A18, A81 e A88 ) 
tiver um sinal negativo,"-", sera impossivel obtermos uma matriz formada 
apenas com sinais positivos.

Matirz 4x4 :
A12 = "-"
Aij = "+" se (i,j) # (1,2)
OBS : "#" significa "e diferente de"

IMPORTANTE : Neste problema, um "canto" e considerado uma diagonal formada 
por um unico elemento. Logo, e permitido modificar apenas um canto.

106 – Traca-se uma mediana de um triangulo. Inscreve-se um circulo em cada 
um dos dois triangulos formados. Repete-se este processo para as duas outras 
medianas. Prove que se 4 dos seis circulos construidos sao iguais, entao o 
triangulo original e equilatero.

107 – Prove que a equacao  X^2 + X + 1 = PY, tem solucao inteira para uma 
infinidade de valores inteiros de P.




Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
2,1536,170504

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