Re: [obm-l] Re: [obm-l] DUVIDA - funçao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> on 28.04.04 18:34, Artur Costa Steiner at
> artur_steiner@yahoo.com wrote:
> 
> >>> 
> >> Consegui provar que f eh continua, o que completa
> a
> >> demonstracao de que f eh
> >> unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de
> base
> >> 2).
> >> 
> > 
> > Uma outra forma de provarmos segue um caminho um
> pouco
> > diferente. Vamos generalizar um pouco mais e
> > considerar f satisfazendo a  f(x*y) = f(x) + f(y),
> com
> > f(a) =1 para algum a>1 (se a<1, a analise eh
> similar)
> > e f crescente. Jah vimos que estas condicoes
> implicam
> > que f(r) = log(r) para todo racional r,
> entendendo-se
> > aqui log como na base a.
> 
> Oi, Artur:
> Como voce prova que a unica restricao de f aos
> racionais positivos eh a
> funcao logaritmo de base a?
> Eu consigo ver que, para r racional, f(a^r) = r e
> que log satisfaz essa
> equacao, mas por que log eh a unica funcao que o
> faz?

Oi Claudio,
Acho que de fato isso naum tinha ainda sido provado,
me precipitei. Mas como, por hipotese, f eh
monotonica, f possui uma inversa g. Da equacao
funcional a que f satisfaz, deduzimos com alguma
algebra, mas sem maiores dificuldades, que g satisfaz
a g(u+v) = g(u)* g(v) para todos reais u e v.
Deduzimos tambem que g(0) =1 e que g(1) = a. Desta
equacao funcional eh facil deduzir, por inducao que
g(n) = a^n para todo inteiro n>=0, resultado que eh
facilmente extendido para todo inteiro n (eh facil
mostrar que g(-n) = 1/g(n)). 
Podemos tambem mostrar, por inducao, que g(n*x) =
(g(x))^n para todo real x e todo inteiro n. De g(1) =
g(n *(1/n)) concluimos que g(1/n) = a^(1/n). Se r= m/n
eh racional, entao g(r) = g(m * (1/n)) = g(1/n)^m =
(a^(1/n))^m = a^(m/n) = a^r. E isto nos conduz a que
f(r) = log_a(r) para todo racional r>0.
Eu acho ateh que ficava mais facil resolver todo o
problema para a inversa g, provando que g(x) = a^x
para todo real x, voltando entao para f.

Sem duvida, a sua solucao foi mais simples.
Artur    


	
		
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