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Outra dúvida: - Uma função f : A --> B (em que A é o conjunto dos numeros reais
positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é estritamente crescente e
para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se ainda que
f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) é irracional.
É fácil provar (por exemplo, por indução) que,
para n inteiro positivo, vale f(x^n) = n*f(x).
Em particular, f(2^n) = n*f(2) = n.
Como f é estritamente crescente, f é
injetiva.
Logo, f(x) é inteiro positivo <==> x = 2^n,
com n inteiro positivo.
Suponhamos que f(3) seja racional, ou seja, f(3) =
p/q com p,q inteiros positivos primos entre si.
(podemos supor que p e q são ambos positivos porque
f(3) > f(2) > 0).
f(3^q) = q*f(3) = q*(p/q) = p = inteiro positivo
==>
3^q = 2^n para algum inteiro n ==>
contradição ao teorema fundamental da aritmética
==>
f(3) é irracional
[]s,
Claudio.
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