Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!

Bom, se voce reparar, o que eu fiz foi encontrar uma fatoracao de f(x) usando um pouco de tentativa e erro.

Vamos tentar algo diferente - agrupar por potencias de z:
4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 =
4x(x+y)(z^2 + (2x+y)z + x(x+y)) + y^2z^2 =
(4x^2 + 4xy + y^2)z^2 + 4x(x+y)(2x+y)z + 4x^2(x+y)^2 =
(2x+y)^2z^2 + 2*2x(x+y)*(2x+y)z + (2x(x+y))^2 =
((2x+y)z + 2x(x+y))^2 >= 0.

Realmente, bem melhor que a primeira solucao...

[]s,
Claudio.


on 28.04.04 19:57, Maurizio at mauz_c@terra.com.br wrote:

> Cláudio
> Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por fatoração,
> tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei fazer... Por isso recorri à lista
> Gostaria de ver uma resolução diferente se possível
>
> Obrigado
>
> At 19:07 28/4/2004, you wrote:
> > E tudo na base da ignorancia!
> >
> > Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote: 
> > on 28.04.04 15:43, Maurizio at mauz_c@terra.com.br wrote:
> >
> > > Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda:
> > > 
> > > (=> é maior ou igual a)
> > > 
> > > Prove que:
> > > 
> > > 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 => 0
> > >
> > Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x).
> > Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.
> >
> > Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garante
> > que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a
> > possibilidade. Expandindo, obtemos:
> >
> > f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2.
> >
> > Do que isso pode ser o quadrado?
> >
> > O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma:
> > f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2
> >
> > O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z).
> > Isso indica que a = b = 2.
> >
> > Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre
> > nao negativo.
> >
> > Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma
> > prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir...
> >
> > []s,
> > Claudio.