Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 28.04.04 15:43, Maurizio at mauz_c@terra.com.br wrote:

> Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda:
> 
> (=> é maior ou igual a)
> 
> Prove que:
> 
> 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 => 0
>
Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x).
Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.

Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garante
que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a
possibilidade. Expandindo, obtemos:
  
f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2.

Do que isso pode ser o quadrado?

O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma:
f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2

O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)x, que deve ser igual a 4yz(y+z).
Isso indica que a = b = 2.

Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre
nao negativo.

Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma
prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir...

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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