Bom Rafael, eu tentei por esse
caminho.
Esteja com lapis e papel para anotar direitinho
hehehe eh meio grande.
Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a,
B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado � o lado
BC.
Agora tome I como incentro de ABC, M o p� da
bissetriz relativa a BC, N o p� da bissetriz relativa a AC e P o p� da
bissetriz relativa a AB.
Olhando para o tri�ngulo AIB, como a>b
podemos afirmar que BI>AI
Olhando para o tri�ngulo AIC, como a>c
podemos afirmar que CI>AI
Agora, se conseguirmos provar que IM<IN e
IM<IP, terminamos nossa demonstra��o.
tra�ando os raios do c�rculo inscrito, formamos
3 triangulos ret�ngulos com I e os p�s das bissetrizes.
analisando esses triangulos, podemos dizer,
pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o �ngulo N
vale b+2c.
como
a+2c > b+2c,
ent�o MI<NI (as hipotenusas s�o inversamente
proporcionais aos �ngulos, facilmente demonstrado pela rela��o de
seno)
Logo, ja sabemos que AM<BN.
tome o �ngulo BPC, ele vale 2a+c.
tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos
obtidos por �ngulo externo)
Como BPC>AMC, o �ngulo P do tri�ngulo
ret�ngulo � menor do que o �ngulo M, do outro tri�ngulo
ret�ngulo.
Logo IP>MI
ent�o, CP>AM
Creio que est� provado que AM (bissetriz
relativa ao maior lado) � menos do que BN e CP.
O que voc�s acham (aqueles que tiveram
paciencia de ler ate o fim eheh)
PS: com um desenho seria bem mais simples
explicar.
Abra�os do Rossi
----- Original Message -----
Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41
AM
Subject: Re: [obm-l] A menor
bissetriz e o maior lado de um tri�ngulo
Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma
olhada...
rafsanco <rafsanco@bol.com.br>
wrote:
Ol�
para todos !
Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana
plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um tri�ngulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prov�-lo da
seguinte forma
(infelizmente n�o disponho de recursos
visuais, ent�o usem a
imagina��o ou esbo�em o desenho
num papel para compreenderem melhor
o que digo): Seja
ABC um tri�ngulo qualquer, BC seu maior lado, I
seu
incentro, x a medida do angulo interno de v�rtice A, y
a
medida do �ngulo interno de v�rtice B, z a medida do
�ngulo interno
de v�rtice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a
bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x �
oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o tri�ngulo AIC, v�-se
que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o tri�ngulo AIB �
verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! ! AI. Ora IM,
IN e
IO s�o segmentos de reta congruentes, visto que s�o
raios
da circunfer�ncia inscrita a ABC, ent�o BI + IO >
AI + IM o que
implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI
+ IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI +
IM = AM). Enfim, est�
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A
minha
demonstra��o � v�lida ou h� algo nela que a compromete
(sei l�, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Voc�s
conhecem
alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a
por
favor.
Abra�os,
Rafael.
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