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Re: [obm-l] Teoria dos Numeros



Qualquer coincidencia e mera semelhança...

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
Analise os 7 casos possiveis, a == 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (mod 7). Alias, nem
precisa analisar todos, jah que k^2 == (7-k)^2 (mod 7). A solucao sai
facilmente.

****

Sobre a generalizacao, suponhamos que a condicao seja:
a, b pertencem a X ==> ab + k pertence a X, com k = inteiro fixo.

Entao:
a pertence a X ==>
a^(n+2) + k*(a^n + a^(n-1)+...+ a + 1) =
a^(n+2) + k*(a^(n+1) - 1)/(a - 1) pertence a X para todo n.

Definimos a sequencia (b(n)) da seguinte forma:
b(0) = a
b(n) = a*b(n-1) + k, para n >= 1.

Eh claro que b(1) = a^2 + k = p > a e tambem que mdc(a,p) = 1 (jah que a e p
sao primos distintos).
Tambem eh claro que b(n) = a^(n+1) + k*(a^n - 1)/(a - 1) pertence a X.

Em particular, b(p-1) = a^p + k*(a^(p-1) - 1)/(a - 1).

Mas, pelo pequeno teorema de Fermat, a^p == a e a^(p-1) == 1 (mod p).

Logo, b(p-1) == a = b(0) (mod p) ==>
b(p) = a*b(p-1) + k == a*b(0) + k = b(1) = p (mod p) ==>

p = b(1) divide b(p) ==>
b(p) eh composto ==>
contradicao ==>
X eh vazio.

Qualquer semelhanca coma demonstracao do Gugu NAO eh mera coincidencia.

[]s,
Claudio.

on 20.04.04 13:46, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at
peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> Onde esta ela?
> Alias sera que da para generalizar esse quatro?
>
> --- Claudio Buffara
> escreveu: > on
> 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune
>> Dirichlet at
>> peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
>>
>> Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b
>> sao dois elementos dele entao
>> ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X
>> e vazio
>>
>> Alem da solucao do Gugu, existe uma outra,
>> encontrada pelo Carlos Yuzo Shine
>> usando congruencia mod 7.
>>
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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