Este problema e muito legal!!!
Este foi o problema 6 da IMO de Canberra, Australia.Me contaram uma historia que era mais ou menos assim...
Estavam para escolher esse problema para ser o 6.So que ninguem tinha uma soluçao decente.Foram chamados os melhores especialistas em teoria dos numeros para fazer esse.Eles demoraram um tempo consideravel (bem mais que o medio de uma questao da IMO).Foi votada a entrada do problema na prova.Onze alunos fecharam esse.Vamos a uma soluçao!
Escreva
a^2+b^2=k*ab+k, com k fixo.
Temos
a^2+(-k*b)*a+(b^2-k)=0
Entao se (a;b) e uma resposta ao nosso problema entao (kb-a;b) tambem e.Por simetria considere A>=B>0 a soluçao (A;B) com A+B minimo.Entao (kB-A;B) seria soluçao se A+B<=kB-A+B sse 2A<=kB, e escrevendo o k como a divisao, apos umas contas voce chega em BA^2+2A<=B^3 .Mas isto e falso porque A^2*B+2A>=B^2B+2B>B^3.Logo (kB-A;B) nao e soluçao, e assim
kB-A<0 sse kB<=A-1 sse A>=B^3+AB+1.Veja que essa desigualdade nao vale se B>=1.Logo B=0.Portanto e imediato que k e quadrado perfeito (de raiz quadrada A, alias!).
E fim!!
Ass.Johann
niski <fabio@niski.com> wrote:
Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?
Mostre que dados a,b números naturais então se (a^2 + b^2)/(ab+1) é um
numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito
obrigado
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Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
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Leonhard Euler
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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