Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 31, 2004 at 05:55:48AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em
> qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se
> lembrar e nao for muito complicado (no momento naum
> estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh
> muito trivial), seria possivel alinhavar a
> demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P
> eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0?
> 
> Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas
> no caso geral eh mais complicado.

Se o corpo for o dos reais ou complexos, o conjunto das
matrizes com espectro simples (nenhum autovalor repetido)
forma um aberto denso e todas estas são diagonalizáveis.
Ora, a identidade p_A(A) = 0, devidamente expandida,
vira q(a11, a12, ..., ann) = 0 onde q é um certo polinômio
de coeficientes inteiros. Se este polinômio se anula num
aberto denso é pq ele é identicamente 0. Isto prova que
p_A(A) = 0 para qualquer matriz e qualquer corpo de coeficientes.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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