Concordo plenamente.Apesar de eu odiar imperialistas porcos capitalistas, existem exceçoes.
Qwert Smith <lord_qwert@hotmail.com> wrote:
Eles tb sao gente, uai. Uns ate gente muito boa, outros um porre. Assim como brasileiros, japoneses, matematicos, membros de mailing list e qualquer outro grupo de seres humanos :)
>From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano >Date: Tue, 30 Mar 2004 15:36:39 -0300 (ART) > >Nossa, ce tem amigos estadunidenses????? > >Artur Costa Steiner wrote:Bom dia, >Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a lista >alguns problemas de Topologia bem interessantes que >ele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2 >deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, o >primeiro, o Tertuliano comecou apresentando
uma >solucao que me pareceu correta mas que nao chegou ao >final. Eu tentei prosseguir na linha dele mas >complicou. >Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que em >Matematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente e >ele, apos ouvir o problema, disse "It's kinda obvious, >man!" e alinhavou uma solucao obvia (nao deu para >entrar em muitos detalhes na hora porque era uma >ligacao internacional) que eu agora vou concluir >fazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu a >inspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha, >ou seja, considerar que se um espaco metrico nao eh >compacto entao ele tem uma sequencia sem nenhuma >subsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto! > > >Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X >-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | x >estah em X} >0. Entao, X eh
compacto. > >Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X nao >seja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X ->(0, >inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x >estah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe nele >uma sequencia {x_n} que nao contem nenhuma >subsequencia convergente. Como esta sequencia contem >necessariamente uma infinidade de termos distintos (ou >teria uma subseq. convergente), podemos admitir, sem >perda de generalidade, que seus termos sao distintos 2 >a 2. >Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos de >acumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria, >automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n}, >contrariamente aa hipotese estabelecida) e, desta >forma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamos >E_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao a >E). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada
E_n >tambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio. > >Definamos agora, para cada natural n, f_n:X->[0,1) por >f_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definida >em X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dada >por D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemos >que a funcao D eh continua (uniformemente) em X. >Sabemos tambem que a distancia de um ponto a um >conjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencer >ao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado, >segue-se que a distancia de algum elemento de X a ele >eh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que o >denominador na definicao de f_n nunca se anula, temos >entao que cada f_n eh continua em X. Alem disto, >f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediato >que 0<=f_n(x)<1 para todo x de X. > >Definamos agora f:X->(0, inf) pela serie de funcoes >dada por f(x) = Soma(n=1, inf)
2^(-n)*f_n(x). Para >vermos que esta definicao faz sentido, observemos que, >para todos naturais m>n e todo x de X, Soma(k=n, m) >2^(-k)*f_k(x) <= Soma(k=n, m) 2^(-k) < Soma(k=n, inf) >2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para to >n e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchy >que a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_n >converge uniformemente em X para uma funcao f, de modo >que nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, como >cada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambem >eh, disto decorrendo, em virtude da convergencia da >serie ser uniforme, que a funcao limite f eh continua >em X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)>=0 >para todo x de X. > >Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | x >estah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntos >E_n, temos que cada x_k pertence a E_n se n<>k e nao >pertence se
n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se n<>k e >0 se >n=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) = >2^(-k)*f_k(x_k) < 2^(-k), pois 0Fazendo-se k -> inf, f(x_k) ->0, o que >implica que >inf{f(x) | x estah em X} = 0. > >Concluimos assim que, se X nao for compacto, entao >existe uma f:X ->(0, inf), continua e positiva, mas >tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra a >proposicao. > >Artur > >__________________________________ >Do you Yahoo!? >Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. >http://taxes.yahoo.com/filing.html >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > > > >TRANSIRE SVVM
PECTVS MVNDOQVE POTIRI > >CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE > >Fields Medal(John Charles Fields) > > > > > >--------------------------------- >Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
_________________________________________________________________ Find a broadband plan that fits. Great local deals on high-speed Internet access. https://broadband.msn.com/?pgmarket=en-us/go/onm00200360ave/direct/01/
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE