Oi, pessoal:
A solu��o que o Ricardo deu pra esse problema do polin�mio me fez lembrar de um outro, talvez um pouco mais dif�cil, mas cuja solu��o usa a mesma id�ia (que ali�s, ele n�o explicitou em sua solu��o - 5 pontos determinam um polin�mio de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou quando escreveu:
P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polin�mios de qualquer grau).
O problema � o seguinte:
Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
Prove que o polin�mio:
p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
� irredut�vel sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
Se ningu�m conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] POLINOMIO |
> Warley wrote:
>
> > Se P(x) eh um polin�mio do 5� grau que satisfaz as condi��es
> > 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, ent�o temos:
> >
> > a)P(0)=4
> > b)P(0)=3
> > c)P(0)=9
> > d)P(0)=2
> > e)nra
>
> Se P(a)=1, ent�o P(a)-1=0, ou seja (x-a) � fator
> de P(x)-1. Logo,
>
> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
>
> Onde k � uma constante real.
>
> Se P(6)=0, ent�o
> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
> -1=k.5!
> k=-1/120
>
> Logo,
> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
> e portanto
> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
> P(0)=2
>
> e resposta � (d)
>
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