[obm-l] Logaritmos e 1o. algarismo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Aqui vai um outro problema envolvendo a relacao entre logaritmos decimais e
o algarismo mais a esquerda de numeros grandes.

Para cada inteiro positivo n, considere o conjunto:
A(n) = {2^k | k eh inteiro positivo e 1 <= k <= n}

Para cada inteiro positivo n, e para r = 1, 2, ..., 9, considere os
conjuntos: 
A_r(n) = {2^k | k eh inteiro positivo, 1 <= k <= n, e o algarismo mais a
esquerda de 2^k eh r}

Prove que lim(n -> infinito) |A_r(n)|/|A(n)| = log_10(1 + 1/r)

onde:
|X| = numero de elementos do conjunto X
log_10(a) = logaritmo decimal de a.

Ou seja, pouco mais de 30% das potencias de 2 comecam com o algarismo 1.
Por outro lado, menos de 5% delas comecam com 9.

OBS: o resultado acima vale nao apenas para potencias de 2, mas para
potencias de qualquer inteiro >= 2 que nao seja uma potencia de 10.


[]s,
Claudio. 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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