Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.03.04 13:40, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Fri, Mar 19, 2004 at 08:33:41AM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
>> 
>>>> Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh
>>>> enumeravel.
>>> 
>>> Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
>>> dos diofantinos tem medida zero.
>>> 
>> Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
>> de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
>> (que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
>> colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
>> epsilon/2^(k+1))?
> 
> Sim.
> 
>> Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?
> 
> Não sei, mas é bem fácil. Tome bolinhas centradas nos racionais p/q,
> 0 < p < q, com raio q^(-n): seja a_n a soma do comprimento destes intervalos.
> Claramente a_n < SOMA_{q > 1} (q-1)*q^(-n) e não é difícil provar daí que
> lim_{n -> infinito} a_n = 0.
> 
Se x estah em L, entao, para cada n >= 1, existe um racional p/q tal que:
x pertence a (p/q - 1/q^n, p/q + 1/q^n).
Logo, L estarh contido na uniao desses intervalos.
Em particular, L inter (0,1) estarah contido na uniao dos intervalos que
voce descreveu acima.
Para cada q > 1, a soma dos comprimentos dos intervalos centrados em p/q com
1 <= p <= q-1 e com raio 1/q^n serah:
2*(q-1)/q^n.
Logo, a soma dos comprimentos de todos os intervalos serah:
SOMA(q>=2) 2*(q-1)/q^n =
2*(1/2^n + 2/3^n + 3/4^n + ...) <
2*(2/2^n + 3/3^n + 4/4^n + ...) =
2*(1/2^(n-1) + 1/3^(n-1) + 1/4^(n-1) + ...) <
2*INTEGRAL(x>=1) dx/x^(n-1) = 2/(n-2) -> 0 quando n -> infinito.

Isso prova que L inter (0,1) tem medida nula.
Mas a reuniao enumeravel de conjuntos com medida nula continua tendo medida
nula.
Logo L = L inter R = L inter Uniao(n em Z) (n,n+1) =
Uniao(n em Z) (L inter (n,n+1)) tem medida nula.

Realmente, eh bem mais simples do que eu imaginava...
 
>>> 
>>> Todo real é uma soma de dois diofantinos.
>>> De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
>>> têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
>>> 
> Olhe para os complementos: são dois conjuntos de medida zero.
> Assim a união dos complementos também tem medida zero.
> Mas a união dos complementos é o complemento da interseção.
>
Ou seja, o complemento de D inter x - D tem medida nula ==>
D inter x - D tem medida total.
Logo eh nao vazio (de fato, bem cheio...)

>>> 
>>> Aliás também é verdade que todo número é uma soma
>>> de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
>>> medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
>>>
Vou tentar demonstrar isso quando estudar o teorema de Baire.
 
>> E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
>> nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
>> uma prova de que algum existe?
> 
> Boa pergunta. A prova que eu conheço usa o axioma da escolha.
> Não sei se existe um exemplo explícito.
>
Eu tentei provar isso usando o lema de Zorn, mas nao consegui concluir.
Veja soh:
 
O conjunto E das extensoes de Q propriamente contidas em R pode ser
parcialmente ordenado por inclusao.

Seja C uma cadeia em E.
Entao F = Uniao(K em C) K eh um corpo, pois se x e y pertencem a F, entao
existirao corpos K1 e K2 em C com x em K1 e y em K2.
Supondo s.p.d.g. que K1 < K2, teremos x, y em K2 e, portanto, x - y e x/y
estarao em K2 (supondo y <> 0) e, portanto, em F.
Eh claro que 0 e 1 tambem estarao em F, pois pertencem a cada K de C.
Logo, F eh um corpo.

F tambem eh um limite superior para a cadeia C, pois cada elemento da cadeia
estah contido em F.

Logo, pelo lema de Zorn, E tem um elemento maximal M.

Alem disso, como E nao contem R, M <> R.
Mas como garantir que M eh nao-enumeravel?

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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