Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Mar 19, 2004 at 08:33:41AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
>  
> >> Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh
> >> enumeravel.
> > 
> > Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
> > dos diofantinos tem medida zero.
> >
> Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
> de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
> (que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
> colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
> epsilon/2^(k+1))?

Sim.
 
> Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?

Não sei, mas é bem fácil. Tome bolinhas centradas nos racionais p/q,
0 < p < q, com raio q^(-n): seja a_n a soma do comprimento destes intervalos.
Claramente a_n < SOMA_{q > 1} (q-1)*q^(-n) e não é difícil provar daí que
lim_{n -> infinito} a_n = 0.

> >> Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
> >> que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
> > 
> > Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
> > De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
> > têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
> >
> Vou pesquisar uma demonstracao disso. Imagino que qualquer bom livro de
> teoria da medida (sobre a qual nao sei nada) contenha uma.

Olhe para os complementos: são dois conjuntos de medida zero.
Assim a união dos complementos também tem medida zero.
Mas a união dos complementos é o complemento da interseção.
 
> > Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
> > temos que tanto y quanto z são diofantinos.
> > 
> > Aliás também é verdade que todo número é uma soma
> > de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
> > medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
> > 
> E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
> nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
> uma prova de que algum existe?

Boa pergunta. A prova que eu conheço usa o axioma da escolha.
Não sei se existe um exemplo explícito.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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