Re: [obm-l] En: Putnam Question

["Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Em geral esse tipo de questão pede por uma resposta que envolva apenas
os dados do enunciado.. Quando se deseja que a resposta fique em função de
BC por exemplo, é comum dizer algo como "Conidere BC = a"..
    Num outro email foi discutida a opcao de se usar trigonometria em
problemas de geometria. A sugestao de se usar trigonometria, bem como
vetores, numeros complexos e qualquer outra arma eh, no meu ver, excelente.
    Esse eh um otimo caso para se usar vetores.. Eu escrevi essa solucao com
o auxilio de papel e caneta para calcular os 3 determinantes, e portanto
sugiro que qualquer um que tente acompanha-la nos detalhes faca o mesmo:

    Inicialmente note que nao ha perda de generalidade em supor A = (0,0), B
= (1,0), C=(0,1) e depois dividir a resposta por 1/2 (*).
    Seja pois F = (0,t) um pto do lado AC, e G=(k,0) um do lado AB.
    Do enunciado, R eh medio de BF => R = (1/2, t/2) e portanto como E eh a
intersecao da reta AR:y=tx com BC: x+y=1 temos E = (1/(t+1) , t/(t+1) ).
    S eh medio de CG, logo S = (k/2, 1/2) e como B,S,F estao alinhados, o
determinante nos da 2t=kt+1 (i).
    O ponto medio de AE eh T = ( 1/[2(t+1)], t/[2(t+1)] ), e como C,T,G
estao alinhados, o det nos da: 2k=1-kt (ii).
    De (i) + (ii), t+k = 1 e substituindo em (i), t^2+t-1=0 (iii), donde
como 0<t<1, t = [sqrt(5)-1]/2 (iv).
    O dobro da area do triangulo RST eh dada (calculando o det com R,S,T)
por:
t*(1-kt) / [4*(t+1)] que eh igual a t*(1-t)/[2*(t+1)] por (i).
    Multiplicando em cima e em baixo por 1-t e usando (iii), vem Resp =
[t(1-t)^2] / [2*(1-t^2)] = (1-t)^2 / 2 = t^4/2.
Usando (iv), concluimos portanto que a area pedida vale [7-3sqrt(5)]/4.

(*) Dado um triangulo qualquer, tome um transformacao afim (T(v)= A*v+B, com
det(A)!=0) que leve ele no meu triangulo ABC. Não é difícil ver que esse
tipo de transformacao preserva incidência, razão entre segmentos paralelos e
razão entre áreas, de forma que eh suficiente resolver o caso acima
exposto).

    Marcio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, March 14, 2004 4:11 PM
Subject: Re: [obm-l] En: Putnam Question


> Pelo visto, hoje alguém estava (des)inspirado para comentar as
mensagens...
>
> Perdoe-me, em que trecho do enunciado diz-se que há valor numérico para a
> resposta? Vou ajudá-lo, eis o enunciado:
>
> "Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides
BC
> , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point
S,
> and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST."
>
> Concordo que a área de ABC é dada, mas a questão não *pede* um valor
> numérico para o triângulo RST, isso não está escrito em qualquer lugar. A
> menos que, além de dizer que o exercício está resolvido errado, você possa
> resolver corretamente, com ou sem valores numéricos....

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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