Re: [obm-l] equação modular

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias@xxxxxxxxxxxxxx>]

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Daniel Silva Braz <dsbraz@yahoo.com.br> said:
> Determine o(s) valor(es) de k para que a equação
>
> |x2 - 3| = k  tenha 3 soluções
>
> resolvi a equação graficamente e verifiquei que 3
> soluções só é possível se k = 4 (entendendo q k é um
> número real qq e não um polinomio), mas no entanto o
> livro me deu a resposta como sendo 3
>
> Alguém poderia me ajudar e me dizer se estou certo ou
> não?
> [...]

Essa equação equivale a x^2 - 3 = k ou x^2 - 3 = -k <=>
x^2 = 3+k ou x^2 = 3-k.

No entanto, a equação x^2 = a pode ter duas, uma ou nenhuma solução, 
dependendo de a:

* Se a>0, tem duas soluções, iguais a sqrt(a) e a -sqrt(a).
* Se a=0, tem uma soluções, igual a 0.
* Se a<0, não tem soluções (estamos tomando x real aqui, certo?).

A única maneira de fazer as duas equações, combinadas, terem três soluções, é 
que uma das equações tenha uma solução e a outra, duas.  Logo temos duas 
possibilidades:

I)  3+k = 0 e 3-k > 0
II) 3+k > 0 e 3-k = 0

Os dois casos dão k = -3 e k = 3, respectivamente. Como k tem que ser positivo 
(pois é igual ao módulo de alguma coisa), k tem que ser igual a 3.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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=a8nv
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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