Re: [obm-l] arccos((raiz(5)-1)/2)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 29, 2004 at 11:09:05PM -0200, Marcio Afonso A. Cohen wrote:
> Bom gente, eu mandei esse problema pra lista, acompanhei os emails do
> Arthur, do Cláudio e do Nicolau sobre ele, inclusive chegando a solucao
> final. Legal. Segue abaixo uma outra solucao,  bastante interessante,
> para o problema. (o fanático por polinomios de chebyshev da lista vai
> adorar :) ).

Antes de mais nada eu queria pedir desculpas por estar respondendo com
tanta demora.

A solução que o Marcio apresenta abaixo é bem legal. Ela até prova mais
do que ele afirma, ela no fundo prova que se cos(p Pi/q) é inteiro algébrico
então cos(p Pi/q) = 0 ou +-1, ou seja, prova exatamente a mesma coisa
que eu demonstrei nesta lista há aprox um mês, mas de forma mais simples.
Por outro lado, ela tem uma pequena falha; irrelevante para a solução,
mas ainda assim uma afirmação errada. Vou primeiro apontar e corrigir
o erro e depois apresentar a prova da afirmação mais geral.
 
> A ideia eh que se x = arccos((raiz(5)-1)/2) fosse multiplo racional de
> Pi, entao haveria um inteiro n tal que cos(nx) = 0, e portanto cos(x)
> seria raiz de uma equacao de coeficientes inteiros t^n + ...t^n-1 +... =
> 0 (polinomio de chebyshev).

O erro está aqui: o polinômio de Chebyshev não é mônico, ou seja,
o coeficiente líder não é 1. Claro que numa equação você sempre pode
dividir tudo pelo coeficiente líder mas aí os coeficientes deixam
de ser inteiros.

> Mas por um lado todas as raizes desse
> polinomio estao em [-1,1] (afinal, temos cos(nx) = t^n + ...  e isso vale
> zero para nx(k) = pi/2 + kpi, k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, o que ja lista
> todas as raizes do polinomio como sendo cos x(k) para algum k), e por
> outro lado o conjugado de cosx, (raiz(5)+1)/2 > 1 tambem deveria ser raiz
> dela... Legal né?

De certa forma esta solução aponta tanto para o próprio erro quanto
para a prova da afirmação mais geral: se todos os conjugados
de um número algébrico estão no intervalo (-1,1), é bem óbvio que
o produto de todos os conjugados também vai estar no intervalo (-1,1).
Mas o produto de todos os conjugados de um número algébrico z é +-a0/an,
onde an x^n + ... + a1 x + a0 é o polinômio de coeficientes inteiros
de grau mínimo que tem raiz z. Assim |a0| < |an| e é portanto bem claro
que |an| > 1, ou seja, que z não é um inteiro algébrico.

Eu só não entendi pq o Marcio disso que "o fanático por polinomios de
Chebyshev da lista vai adorar": o legal desta solução é justamente que,
ao contrário da minha, não precisamos usar *nada* de polinômios de Chebyshev!


[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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